CHAPITRE 1
Calcul arithmétique
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Chapitre 1 - Calcul arithmétique - fiche de cours
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Division euclidienne et critères de divisibilité
2
Priorités de calcul
1
Division euclidienne et critères de divisibilité
A
Rappel sur la division euclidienne
Rappel
Division euclidienne
Effectuer la
division euclidienne
d’un
dividende
par un
diviseur
, c’est trouver deux nombres appelés
quotient
et
reste
tels que :
le dividende, le diviseur et le reste sont des entiers naturels ;
dividende
=
=
=
diviseur
×
\times
×
quotient
+
+
+
reste ;
le reste est strictement inférieur au quotient.
Exemple
Consigne :
Quels sont le quotient et le reste de la division de
2
4
7
247
2
4
7
par
2
2
22
2
2
?
Correction :
Le quotient est
1
1
11
1
1
.
Le reste est
5
5
5
.
On peut écrire :
2
4
7
=
2
2
×
1
1
+
5
247 = 22 \times 11 + 5
2
4
7
=
2
2
×
1
1
+
5
Remarque
Attention ! Dans toute division, le diviseur n’est jamais égal à
0
0
0
.
B
Les critères de divisibilité
Définition
Divisibilité d’un nombre
Si le reste de la division euclidienne de
a
a
a
par
b
b
b
est nul alors on dit que :
b
b
b
est un diviseur de
a
a
a
;
a
a
a
est un multiple de
b
b
b
.
Exemple
2
2
2
est un diviseur de
1
0
10
1
0
car
2
×
5
=
1
0
2 \times 5 = 10
2
×
5
=
1
0
.
3
3
3
et
4
4
4
sont des diviseurs de
1
5
6
156
1
5
6
car
3
×
4
×
1
3
=
1
5
6
3 \times 4 \times 13 = 156
3
×
4
×
1
3
=
1
5
6
.
Exemple
Consigne :
5
5
5
est-il un diviseur de
3
0
30
3
0
?
Correction :
5
×
6
=
3
0
5 \times 6 = 30
5
×
6
=
3
0
, donc
5
5
5
est un diviseur de
3
0
30
3
0
.
Remarque
Tout entier naturel admet au moins le nombre
1
1
1
et lui-même comme diviseurs.
Rappel
Divisibilité d'un nombre
Tout nombre est divisible par
2
2
2
si son dernier chiffre est
0
,
2
,
4
,
6
0, 2, 4, 6
0
,
2
,
4
,
6
ou
8
8
8
.
Tout nombre est divisible par
3
3
3
si la somme de ses chiffres est divisible par
3
3
3
.
Tout nombre est divisible par
4
4
4
si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de
4
4
4
.
Tout nombre est divisible par
5
5
5
si son dernier chiffre est
0
0
0
ou
5
5
5
.
Tout nombre est divisible par
9
9
9
si la somme de ses chiffres est un multiple de
9
9
9
.
Tout nombre est divisible par
1
0
10
1
0
s’il se termine par
0
0
0
.
Exemple
Consigne :
Trouvez quatre diviseurs de
1
5
0
150
1
5
0
.
Correction :
1
5
0
150
1
5
0
est un nombre entier, il est donc divisible par
1
1
1
.
1
5
0
150
1
5
0
a comme chiffre des unités
0
0
0
, il est donc divisible par
2
2
2
et par
5
5
5
.
La somme des chiffres composant
1
5
0
150
1
5
0
est égale à
1
+
5
=
6
1 + 5 = 6
1
+
5
=
6
, qui est un multiple de
3
3
3
, il est donc divisible par
3
3
3
.
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