CHAPITRE 1

Calcul arithmétique

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Division euclidienne et critères de divisibilité

Priorités de calcul

Division euclidienne et critères de divisibilité

- ARappel sur la division euclidienne
  - Rappel
    Division euclidienne
    Effectuer la division euclidienne d’un dividende par un diviseur, c’est trouver deux nombres appelés quotient et reste tels que :
    
    le dividende, le diviseur et le reste sont des entiers naturels ;
    
    dividende $=$ diviseur $\times$ quotient $+$ reste ;
    
    le reste est strictement inférieur au quotient.
  - Exemple
    Consigne :
    Quels sont le quotient et le reste de la division de $247$ par $22$ ?
    
    Correction :
    
    Le quotient est $11$ .
    
    Le reste est $5$ .
    
    On peut écrire : $247 = 22 \times 11 + 5$
  - Remarque
    Attention ! Dans toute division, le diviseur n’est jamais égal à $0$ .
- BLes critères de divisibilité
  - Définition
    Divisibilité d’un nombre
    Si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est nul alors on dit que :
    
    $b$ est un diviseur de $a$ ;
    
    $a$ est un multiple de $b$ .
  - Exemple
    $2$ est un diviseur de $10$ car $2 \times 5 = 10$ .
    
    $3$ et $4$ sont des diviseurs de $156$ car $3 \times 4 \times 13 = 156$ .
  - Exemple
    Consigne :
    $5$ est-il un diviseur de $30$ ?
    
    Correction :
    $5 \times 6 = 30$ , donc $5$ est un diviseur de $30$ .
  - Remarque
    Tout entier naturel admet au moins le nombre $1$ et lui-même comme diviseurs.
  - Rappel
    Divisibilité d'un nombre
    
    Tout nombre est divisible par $2$ si son dernier chiffre est $0, 2, 4, 6$ ou $8$ .
    
    Tout nombre est divisible par $3$ si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ .
    
    Tout nombre est divisible par $4$ si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de $4$ .
    
    Tout nombre est divisible par $5$ si son dernier chiffre est $0$ ou $5$ .
    
    Tout nombre est divisible par $9$ si la somme de ses chiffres est un multiple de $9$ .
    
    Tout nombre est divisible par $10$ s’il se termine par $0$ .
  - Exemple
    Consigne :
    Trouvez quatre diviseurs de $150$ .
    
    Correction :
    
    $150$ est un nombre entier, il est donc divisible par $1$ .
    
    $150$ a comme chiffre des unités $0$ , il est donc divisible par $2$ et par $5$ .
    
    La somme des chiffres composant $150$ est égale à $1 + 5 = 6$ , qui est un multiple de $3$ , il est donc divisible par $3$ .