Une suite $\left(u_n\right)$ est définie explicitement lorsqu’on donne l’expression du terme général $u_n$ de la suite en fonction de $n$.


La suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=2n+1$ est définie explicitement. On a $v_4=2\times 4+1=9$.

Une suite $\left(u_n\right)$ est définie par récurrence lorsqu’elle est définie par la donnée de son premier terme et d’une relation (appelée relation de récurrence) permettant de calculer un terme à partir du terme précédent.


$\{\begin{array}{l}{u}_0=2\\ \text{Pour tout }n\in \mathbb{N},u_{n+1}=2u_n+1\end{array}$ est définie par récurrence. On a $w_1=2\times w_0+1=2\times 2+1=5$, $w_2=2w_1+1=2\times 5+1=11$ etc.

• Une suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout entier $n⩾n_0$, $u_{n+1}⩾u_n$.
  
  
  Exemple
  
  La suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=n$ est croissante pour tout $n\in \mathbb{N}$.



• Une suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $n_0$ si, pour tout entier $n⩾n_0$, $u_{n+1}⩽u_n$.
  
  
  Exemple
  
  La suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=-n$ est décroissante pour tout $n\in \mathbb{N}$.
  


• Une suite est dite monotone à partir du rang $n_0$ lorsqu’elle est soit croissante, soit décroissante à partir du rang $n_0$.
  
  
  Exemple
  
  La suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_n=(-1{)}^n$ n’est pas monotone sur $\mathbb{N}$.

Une suite $(u_n)$ est dite arithmétique lorsqu’il existe un nombre réel $r$, appelé raison de la suite, tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+r$.


La suite $(u_n)$ définie par $u_0=-5$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+3$ est une suite arithmétique.

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Une suite arithmétique de raison $r$ est :

• croissante si $r>0$ ;
• décroissante si $r<0$ ;
• constante si $r=0$.

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique lorsqu’il existe un nombre réel $q$ non nul, appelé raison de la suite, tel que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=q\times u_n$.


La suite $(u_n)$ définie par $u_0=-5$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n\times 3$ est une suite géométrique.

Une suite géométrique de raison $q$ dont tous les termes sont strictement positifs est :

• croissante si $q>1$ ;
• décroissante si $0<q<1$ ;
• constante si $q=1$.