Soient $\overrightarrow{u}(x;y)$ un vecteur et $\lambda$ un nombre réel. Les coordonnées du vecteur $\lambda \overrightarrow{u}$ sont $(\lambda x;\lambda y)$.

• Si $\lambda >0,$ alors $\overrightarrow{u}$ et $\lambda \overrightarrow{u}$ ont même direction, même sens et $\Vert \lambda \overrightarrow{u}\Vert =\lambda \Vert \overrightarrow{u}\Vert ;$
• Si $\lambda <0,$ alors $\overrightarrow{u}$ et $\lambda \overrightarrow{u}$ ont même direction, sens contraire et $\Vert \lambda \overrightarrow{u}\Vert =-\lambda \Vert \overrightarrow{u}\Vert ;$
• Si $\lambda =0,$ alors $\lambda \overrightarrow{u}$ est le vecteur nul.
  

Si le vecteur $\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(2;-3)$, alors le vecteur $-3\overrightarrow{u}$ a pour coordonnées $(-3\times 2;-3\times -3)$, c’est-à-dire $(-6;9)$.

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si il existe $\lambda$ un réel tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}$.
Les coordonnées de deux vecteurs colinéaires sont proportionnelles.


$\overrightarrow{u}(-3;9)$ et $\overrightarrow{v}(1;-3)$ sont colinéaires car $\overrightarrow{u}=-3\overrightarrow{v}$.
Les coordonnées de ces deux vecteurs sont bien proportionnelles car $\frac{-3}{1}=-3$ et $\frac{9}{-3}=-3$.

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v},$ deux vecteurs de coordonnées respectives $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$.
Le déterminant de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est le réel $\text{det}(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }.$




Le déterminant de $\overrightarrow{u}(-3;9)$ et $\overrightarrow{v}(1;-3)$ est $\text{det}(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})=(-3)\times (-3)-9\times 1=0$. Ce déterminant est égal à 0, ces deux vecteurs sont donc colinéaires.