L’ensemble des entiers naturels, noté $\mathbb{N}$, est l’ensemble des entiers positifs ou nuls : $0;1;2;\dots$

L’ensemble des entiers relatifs, noté $\mathbb{Z}$, est l’ensemble des entiers positifs, négatifs, ou nuls : $\dots ;–3;–2;–1;0;1;2;3;\dots$


$5$ est un entier naturel et un entier relatif.
$–5$ est un entier relatif, mais pas un entier naturel.

L’ensemble des nombres rationnels, noté $\mathbb{Q}$, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

En particulier, l’ensemble des nombres décimaux, noté $\mathbb{D}$, est l’ensemble des nombres pouvant s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec $a\in \mathbb{Z}$ et $n\in \mathbb{N}$.

$0,57=\frac{57}{100}$ est un nombre rationnel et un nombre décimal.

$\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel, mais pas un nombre décimal.

$-7=\frac{-7}{1}$ est un entier relatif, un nombre rationnel et un nombre décimal.

$\sqrt{2}$ n’est pas un nombre rationnel, on dit qu’il est irrationnel.

L’ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, est l’ensemble des nombres $x$ tels que $x^2⩾0.$

Tout nombre réel est représenté par l’abscisse d’un point sur la droite numérique.

$1$ est un nombre entier naturel, un nombre entier relatif, un nombre rationnel, un nombre décimal et un réel.

$\pi$ est un nombre réel mais n’est ni entier, ni un nombre rationnel, ni un nombre décimal.

On a $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a⩽b$.



$]2;7[$ est un intervalle ouvert. Il contient tous les réels strictement compris entre $2$ et $7$. On peut le représenter sur la droite numérique comme suit.

L’union de deux intervalles $\text{I}$ et $\text{J}$, noté $\text{I}\cup \text{J}$, est l’ensemble des réels appartenant à $\text{I}$ ou à $\text{J}$.


L’union des intervalles $]2;3[$ et $[4;5[$ est l’ensemble $]2;3[\cup [4;5[$.


L’union des intervalles $]2;3[$ et $[2,5;5]$ est l’ensemble $]2;3[\cup [2,5;5]$, c’est-à-dire l’intervalle $]2;5]$.

L’intersection de deux intervalles $\text{I}$ et $\text{J}$, noté $\text{I}\cap \text{J}$, est l’ensemble des réels appartenant à la fois à $\text{I}$ et à $\text{J}$.


L’intersection des intervalles $]2;3[$ et $[4;5[$ est l’ensemble $]2;3[\cap [4;5[$, c’est à dire l’ensemble vide $\varnothing$ car aucun réel n'appartient à ces deux intervalles à la fois.


L’intersection des intervalles $]2;3[$ et $[2,5;5]$ est l’ensemble $]2;3[\cap [2,5;5]$, c’est à dire l’intervalle $[2,5;3[$.

L’inverse d’un nombre réel $a$ non nul est le nombre $\frac{1}{a}.$

L’opposé d’un nombre réel $a$ est le nombre $-a$.


L’inverse du nombre $2$ est le nombre $\frac{1}{2}$. L’opposé du nombre $2$ est le nombre $–2$.

La valeur absolue d’un nombre réel $x$ est la distance entre $x$ et $0$ lorsqu’on le place sur la droite numérique. On la note $\mid x\mid$.


On a $\mid 2\mid =2$ et $\mid -4,5\mid =4,5$.

Pour tout $a$ réel, on note $a^2=a\times a$ le carré du nombre $a$. On dit aussi qu’on met le nombre $a$ à la puissance $2$.
Pour tout $a$ réel, on note $a^3=a\times a\times a$ le cube du nombre $a$. On dit aussi qu’on met le nombre $a$ à la puissance $3$.

De manière générale, pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ , $a^n=\underset{\text{n fois}}{\underbrace{a\times \dots \times a}}$ est la puissance n-ième de $a$. On lit « $a$ puissance $n$ ».

Soit $a$ un nombre réel positif. La racine carré de $a$ est l’unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a$ : ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a.$

Pour tout réel $a$, on n’a pas $\sqrt{a^2}=a$ mais $\sqrt{a^2}=\mid a\mid$ !

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs. $a$ est un diviseur de $b$ lorsqu’il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $b=k\times a$.
On peut aussi dire que $b$ est un multiple de $a$, que $a$ divise $b$ ou que $b$ est divisible par $a$.


$3$ est un diviseur de $36$ car $36=12\times 3$. On peut aussi dire que $36$ est un multiple de $3$.

Soit $a\in \mathbb{Z}$.

• $a$ est un nombre pair s’il peut s’écrire sous la forme $a=2\times k$ avec $k\in \mathbb{Z}$, c’est à dire si $a$ est un multiple de $2$.
• $a$ est un nombre impair s’il peut s’écrire sous la forme $a=2\times k+1$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

$17=2\times 8+1$ est un nombre impair. $38=2\times 19$ est un nombre pair.

Un entier naturel non nul est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.

$2;3;5;7$ sont des nombres premiers.

$1$ n’est pas un nombre premier car il ne possède pas exactement deux diviseurs, il n’en possède qu’un : lui-même.