Étude énergétiques en mécanique

A

Définition de l’énergie cinétique

Dans un référentiel donné, l’énergie cinétique $E_c$ d’un système s’exprime par la relation : $E_c=\frac{1}{2}m\cdot v^2.$
avec :

• $E_c$ : l’énergie cinétique en joule (J) ;
• $m$ : la masse du système en kilogramme (kg) ;
• $v$ : la vitesse du système en mètre par seconde (m·s^-1).

B

Travail d’une force

• Le travail d’une force est la grandeur physique permettant d’évaluer l’effet de cette force sur l’énergie cinétique d’un système au cours d’un mouvement.


• Le travail $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F})$ d’une force constante $\overrightarrow{F}$ dont le point d’application se déplace de $\text{A}$ vers $\text{B}$ s’exprime par la relation scalaire :
  $W_{\mathrm{A}\mathrm{B}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=F\cdot \text{AB}\cdot \cos (\alpha ).$
  
  avec :
  
  • $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{F})$ le travail de la force $\overrightarrow{F}$ en joule (J) ;
  • $F$ la valeur de la force en newton (N) ;
  • $\text{AB}$ le déplacement en mètre (m) ;
  • $\alpha$ l’angle entre la direction de la force $\overrightarrow{F}$ et celle du déplacement $\overrightarrow{\text{AB}}.$

C

Théorème de l’énergie cinétique

La variation de l’énergie cinétique d’un système de masse $m$ entre un point $\text{A}$ et un point $\text{B}$ se calcule tel que :
❯ Tous les termes de cette relation s’expriment en joule.

A

Définition de l’énergie potentielle de pesanteur

L'énergie potentielle de pesanteur $E_{pp}$ d’un système dans un référentiel donné, en orientant l'axe des altitudes vers le haut se caclule :
avec :

• $E_{pp}$: l’énergie potentielle de pesanteur en joule (J) ;
• $m$: la masse du système en kilogramme (kg) ;
• $g$ : l’intensité du champ de pesanteur (N·kg^-1) ;
• $z$ : l’altitude par rapport à la référence en mètre (m).

B

Force conservative : l’exemple du poids

• Tout corps de masse $m$, placé dans un champ de pesanteur uniforme $g$ est soumis à son propre poids $P.$


• Lorsque l’objet se déplace d’un point $\text{A}$ à un point $\text{B}$, le travail du poids s’exprime par la relation : $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{P})=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{\text{AB}}=P\cdot \text{AB}\cdot \cos (\alpha ).$


• Le travail du poids ne dépend que des altitudes de départ et d’arrivée, il ne dépend pas du chemin suivi par le système : on parle dans ce cas de force conservative.

C

Travail d’une force non conservative : exemple de la force de frottement

• Lors d’un déplacement rectiligne de longueur $\text{AB}$, le travail de la force de frottement $W_{\text{AB}}(\overrightarrow{f})$ est donné par la relation : $W_{\mathrm{A}\mathrm{B}}(\overrightarrow{f})=\overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}$
  
  
• La force de frottement s’opposant généralement au mouvement du système, le travail s’écrit alors : $W_{\mathrm{A}\mathrm{B}}(\overrightarrow{f})=f\cdot \mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \cos \left(180^{\circ }\right)=-f\cdot \mathrm{A}\mathrm{B}<0$ J.

❯ Ce travail est résistant.

❯ Le travail de la force de frottement dépend du chemin suivi. On parle dans ce cas de force non conservative.

A

Définition de l’énergie mécanique

Dans un référentiel donné, l'énergie mécanique $E_m$ associée à un système plongé dans un champ de pensanteur se calcule à partir de la relation :
avec :

$E_m$ : l’énergie mécanique en joule (J) ;

$E_c$ : l’énergie cinétique en joule (J) ;

$E_{pp}$ : l’énergie potentielle de pesanteur en joule (J).

B

Conservation de l’énergie mécanique

• Un système soumis à des forces conservatives ou à des forces dont le travail est nul.


• La conservation de l'énergie mécanique se calcule :
  $\Delta E_m(\text{A}\to \text{B})=E_m(\text{B})-E_m(\text{A})=0\iff E_m(\text{B})=E_m(\text{A}).$
  Or, $\Delta E_m(\text{A}\to \text{B})=\Delta E_c(\text{A}\to \text{B})+\Delta E_{pp}(\text{A}\to \text{B})$
  Donc, $\Delta E_{\mathrm{c}}(\mathrm{A}\to \mathrm{B})=-\Delta E_{\mathrm{p}\mathrm{p}}(\mathrm{A}\to \mathrm{B}).$


• Dans le cas où l’énergie mécanique d’un système se conserve, alors toute l’énergie cinétique est convertie en énergie potentielle et inversement.

C

Non-conservation de l’énergie mécanique

• Lorsqu'un système est soumis à des forces non conservatives qui travaillent, son énergie mécanique ne se conserve pas :
  
  $\Delta E_m(\text{A}\to \text{B})=E_m(\text{B})-E_m(\text{A})=\sum W_{\text{AB}}\left({\overrightarrow{F}}_{nc}\right)$
  
  avec $\sum W_{\text{AB}}\left({\overrightarrow{F}}_{nc}\right)$ la somme des travaux des forces non conservatives s’appliquant sur le système (frottements, par exemple).
  


• Dans le cas où l’énergie mécanique d’un système ne se conserve pas, alors l’énergie cinétique du système est partiellement convertie en énergie potentielle et inversement.

En mécanique, une étude énergétique peut se réaliser :

❯ En négligeant la présence de forces dissipatives (ex. : les frottements fluides). Dans ce cas, l’énergie mécanique se conserve et il est possible d’estimer la position et/ou la vitesse du système à n’importe quel instant de son mouvement ;

❯ En tenant compte des forces de frottement. Dans ce cas, l’énergie mécanique ne se conserve pas. Cette non-conservation peut être exploitée en déterminant le travail d’une force dissipative ou l’intensité de cette force.

Théorème valable dans le référentiel terrestre mais ne s'applique pas pour certains référentiels dits non galiléens.

L’étude ne porte ici que sur des forces constantes.

On néglige l’énergie de rotation propre au corps en mouvement par souci de simplification dans les calculs.