CHAPITRE 4

Puissances et conversions

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RAPPELS SUR LES PUISSANCES
2
GRANDEURS ET CONVERSIONS

L’écriture scientifique

Rappel

Multiplication par une puissance de 10

➔
Si $n$ est un entier positif :

multiplier un nombre en écriture décimale par $1 0^{n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la droite ;

multiplier un nombre en écriture décimale par $1 0^{- n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la gauche.

Exemple

$51, 328 \times 1 0^{2} = 5 \ 132, 8$
$942, 3 \times 1 0^{(- 1)} = 94, 23$

Définition

Écriture scientifique

➔
Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c’est l’écrire sous la forme suivante. (cf. image)

Remarque

La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

Exemple

$453, 2 = 4, 532 \times 1 0^{2}$
$- 0, 26 = - 2, 6 \times 1 0^{- 1}$

Règle

Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

➔

On lit l’ordre de grandeur d’un nombre positif en écriture scientifique dans l’exposant.

Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants, puis les parties décimales.

Exemple

Consigne :
Comparez

9, 1 \times 1 0^{4}

8, 9 \times 1 0^{- 3}

.

Correction :

$1 0^{4} \leq 9, 1 \times 1 0^{4} < 1 0^{5}$
$1 0^{3} \leq 8, 9 \times 1 0^{- 3} < 1 0^{- 2}$
Or, $1 0^{- 2} < 1 0^{4}$
Donc, $8, 9 \times 1 0^{- 3} < 9, 1 \times 1 0^{4}$

Calculs avec les puissances

Propriété

Puissances d’une même base

➔
Si $m$ et $n$ sont des entiers et $a$ un nombre non nul :

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$

Remarque

p

est un entier positif, on généralise la règle précédente. (cf. image)

Remarque

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Propriété

Puissances d’une même base

➔
Si $n$ est un entier et $a$ et $b$ des nombres non nuls :

$a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$

$\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$

Exemple

$\frac{8 ^{4}}{7 ^{4}} = \frac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7}$
$\frac{8 ^{4}}{7 ^{4}} = \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7}$
$\frac{8 ^{4}}{7 ^{4}} = (\frac{8}{7})^{4}$

Notion de puissance

Définition

Puissance à exposant positif

➔

Les puissances sont une abréviation d’écriture pour les produits composés d’un même facteur répété plusieurs fois.

Au lieu d’écrire $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ , on peut écrire $2^{6}$ et on lit « 2 puissance 6 ».

Remarque

La base d’une puissance peut également être un nombre négatif.
On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe «

-

» fait partie de la base.

Exemple

(- 3)^{2} = (- 3) \times (- 3) = 9

alors que

- 3^{2} = - (3 \times 3) = - 9

Remarque

Quelle que soit la valeur de

a

a^{0} = 1

Définition

Puissance à exposant négatif

➔
Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier positif $n$ , une puissance de $a$ à l’exposant négatif $- n$ s’écrit :

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

Exemple

$\frac{1}{5 ^{4}} = 5^{- 4}$
$7^{3} = \frac{1}{7 ^{- 3}}$

Remarque

a^{- n}

est l’inverse de

a^{n}

Propriété

Signe d’une puissance

➔
Si $a$ est un nombre non nul et $n$ un entier non nul :

si $a > 0$ , alors $a^{n} > 0$ ;

si $a < 0$ :

si $n$ est pair, alors $a^{n} > 0$

si $n$ est impair, alors $a^{n} < 0$

Exemple

$2^{4} > 0$
$(- 2)^{3} = - 8 < 0$
$3^{- 3} = \frac{1}{2 7} > 0$
$(- 2)^{2} = 4 > 0$
$(- 2)^{- 3} = - \frac{1}{8} < 0$

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Puissances et conversions

L’écriture scientifique

Rappel

Multiplication par une puissance de 10

➔ Si n est un entier positif : multiplier un nombre en écriture décimale par 10n revient à décaler la virgule de n crans vers la droite ; multiplier un nombre en écriture décimale par 10−n revient à décaler la virgule de n crans vers la gauche.

Exemple

Définition

Écriture scientifique

➔ Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c’est l’écrire sous la forme suivante. (cf. image)

Remarque

Exemple

Règle

Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique

➔ On lit l’ordre de grandeur d’un nombre positif en écriture scientifique dans l’exposant. Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants, puis les parties décimales.

Exemple

Calculs avec les puissances

Propriété

Puissances d’une même base

➔ Si m et n sont des entiers et a un nombre non nul : am×an=am+n anam​=am−n

Remarque

Remarque

Propriété

Puissances d’une même base

➔ Si n est un entier et a et b des nombres non nuls : an×bn=(a×b)n bnan​=(ba​)n

Exemple

Notion de puissance

Définition

Puissance à exposant positif

➔ Les puissances sont une abréviation d’écriture pour les produits composés d’un même facteur répété plusieurs fois. Au lieu d’écrire 2×2×2×2×2×2, on peut écrire 26 et on lit « 2 puissance 6 ».

Remarque

Exemple

Remarque

Définition

Puissance à exposant négatif

➔ Pour tout nombre a non nul et tout entier positif n, une puissance de a à l’exposant négatif −n s’écrit : a−n=an1​

Exemple

Remarque

Propriété

Signe d’une puissance

➔ Si a est un nombre non nul et n un entier non nul : si a>0, alors an>0 ; si a<0 : si n est pair, alors an>0 si n est impair, alors an<0

Exemple

➔
Si $n$ est un entier positif :

multiplier un nombre en écriture décimale par $1 0^{n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la droite ;

multiplier un nombre en écriture décimale par $1 0^{- n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la gauche.

➔
Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c’est l’écrire sous la forme suivante. (cf. image)

➔

On lit l’ordre de grandeur d’un nombre positif en écriture scientifique dans l’exposant.

Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants, puis les parties décimales.

➔
Si $m$ et $n$ sont des entiers et $a$ un nombre non nul :

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

$\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$

➔
Si $n$ est un entier et $a$ et $b$ des nombres non nuls :

$a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}$

$\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}$

➔

Les puissances sont une abréviation d’écriture pour les produits composés d’un même facteur répété plusieurs fois.

Au lieu d’écrire $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ , on peut écrire $2^{6}$ et on lit « 2 puissance 6 ».

➔
Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier positif $n$ , une puissance de $a$ à l’exposant négatif $- n$ s’écrit :

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

➔
Si $a$ est un nombre non nul et $n$ un entier non nul :

si $a > 0$ , alors $a^{n} > 0$ ;

si $a < 0$ :

si $n$ est pair, alors $a^{n} > 0$

si $n$ est impair, alors $a^{n} < 0$