CHAPITRE 4
Puissances et conversions
Accueil
>
Mathématiques 3e
>
Chapitre 4 - Puissances et conversions - fiche de cours
Exercices
Fiches de cours
NON COMMENCÉ
0 pts
Imprimer
1
Rappels sur les puissances
2
Grandeurs et conversions
1
Rappels sur les puissances
A
Notion de puissance
Définition
Puissance à exposant positif
Les puissances sont une
abréviation d’écriture
pour les produits composés d’un même facteur répété plusieurs fois.
Au lieu d’écrire
2
×
2
×
2
×
2
×
2
×
2
2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2
2
×
2
×
2
×
2
×
2
×
2
, on peut écrire
2
6
2^6
2
6
et on lit « 2 puissance 6 ».
Remarque
La base d’une puissance peut également être un nombre négatif.
On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe «
−
-
−
» fait partie de la base.
Exemple
(
−
3
)
2
=
(
−
3
)
×
(
−
3
)
=
9
(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9
(
−
3
)
2
=
(
−
3
)
×
(
−
3
)
=
9
alors que
−
3
2
=
−
(
3
×
3
)
=
−
9
-3^2 = -(3 \times 3) = -9
−
3
2
=
−
(
3
×
3
)
=
−
9
Remarque
Quelle que soit la valeur de
a
a
a
,
a
0
=
1
a^0 = 1
a
0
=
1
.
Définition
Puissance à exposant négatif
Pour tout nombre
a
a
a
non nul et tout entier positif
n
n
n
, une puissance de
a
a
a
à l’exposant négatif
−
n
-n
−
n
s’écrit :
a
−
n
=
1
a
n
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
a
−
n
=
a
n
1
Exemple
1
5
4
=
5
−
4
\frac{1}{5^4} = 5^{-4}
5
4
1
=
5
−
4
7
3
=
1
7
−
3
7^3 = \frac{1}{7^{-3}}
7
3
=
7
−
3
1
Remarque
a
−
n
a^{-n}
a
−
n
est l’inverse de
a
n
a^n
a
n
.
Propriété
Signe d’une puissance
Si
a
a
a
est un nombre non nul et
n
n
n
un entier non nul :
si
a
>
0
a > 0
a
>
0
, alors
a
n
>
0
a^n > 0
a
n
>
0
;
si
a
<
0
a < 0
a
<
0
:
si
n
n
n
est pair, alors
a
n
>
0
a^n > 0
a
n
>
0
si
n
n
n
est impair, alors
a
n
<
0
a^n < 0
a
n
<
0
Exemple
2
4
>
0
2^4 > 0
2
4
>
0
(
−
2
)
3
=
−
8
<
0
(-2)^3=-8<0
(
−
2
)
3
=
−
8
<
0
3
−
3
=
1
2
7
>
0
3^{-3}=\frac{1}{27}>0
3
−
3
=
2
7
1
>
0
(
−
2
)
2
=
4
>
0
(-2)^2=4>0
(
−
2
)
2
=
4
>
0
(
−
2
)
−
3
=
−
1
8
<
0
(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}<0
(
−
2
)
−
3
=
−
8
1
<
0
B
Calculs avec les puissances
Propriété
Puissances d’une même base
Si
m
m
m
et
n
n
n
sont des entiers et
a
a
a
un nombre non nul :
a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
a^m \times a^n = a^{m+n}
a
m
×
a
n
=
a
m
+
n
a
m
a
n
=
a
m
−
n
\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
a
n
a
m
=
a
m
−
n
Remarque
Si
p
p
p
est un entier positif, on généralise la règle précédente. (cf. image)
Remarque
Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.
Propriété
Puissances d’une même base
Si
n
n
n
est un entier et
a
a
a
et
b
b
b
des nombres non nuls :
a
n
×
b
n
=
(
a
×
b
)
n
a^n \times b^n = (a \times b)^n
a
n
×
b
n
=
(
a
×
b
)
n
a
n
b
n
=
(
a
b
)
n
\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n
b
n
a
n
=
(
b
a
)
n
Exemple
8
4
7
4
=
8
×
8
×
8
×
8
7
×
7
×
7
×
7
\frac{8^4}{7^4} = \frac{8 \times 8 \times 8 \times 8}{7 \times 7 \times 7 \times 7}
7
4
8
4
=
7
×
7
×
7
×
7
8
×
8
×
8
×
8
8
4
7
4
=
8
7
×
8
7
×
8
7
×
8
7
\frac{8^4}{7^4} = \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7} \times \frac{8}{7}
7
4
8
4
=
7
8
×
7
8
×
7
8
×
7
8
8
4
7
4
=
(
8
7
)
4
\frac{8^4}{7^4} = (\frac{8}{7})^4
7
4
8
4
=
(
7
8
)
4
C
L’écriture scientifique
Rappel
Multiplication par une puissance de 10
Si
n
n
n
est un entier positif :
multiplier un nombre en écriture décimale par
1
0
n
10^n
1
0
n
revient à décaler la virgule de
n
n
n
crans vers la droite ;
multiplier un nombre en écriture décimale par
1
0
−
n
10^{-n}
1
0
−
n
revient à décaler la virgule de
n
n
n
crans vers la gauche.
Exemple
5
1
,
3
2
8
×
1
0
2
=
5
1
3
2
,
8
51,328 \times 10^2 = 5 \ 132,8
5
1
,
3
2
8
×
1
0
2
=
5
1
3
2
,
8
9
4
2
,
3
×
1
0
(
−
1
)
=
9
4
,
2
3
942,3 \times 10^{(-1)} = 94,23
9
4
2
,
3
×
1
0
(
−
1
)
=
9
4
,
2
3
Définition
Écriture scientifique
Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, c’est l’écrire sous la forme suivante. (cf. image)
Remarque
La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.
Exemple
4
5
3
,
2
=
4
,
5
3
2
×
1
0
2
453,2 = 4,532 \times 10^2
4
5
3
,
2
=
4
,
5
3
2
×
1
0
2
−
0
,
2
6
=
−
2
,
6
×
1
0
−
1
-0,26 = -2,6 \times 10^{-1}
−
0
,
2
6
=
−
2
,
6
×
1
0
−
1
Règle
Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique
On lit l’ordre de grandeur d’un nombre positif en écriture scientifique dans l’exposant.
Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare d’abord les exposants, puis les parties décimales.
Exemple
Consigne :
Comparez
9
,
1
×
1
0
4
9,1 \times 10^4
9
,
1
×
1
0
4
et
8
,
9
×
1
0
−
3
8,9 \times 10^{-3}
8
,
9
×
1
0
−
3
.
Correction :
1
0
4
≤
9
,
1
×
1
0
4
<
1
0
5
10^4 \leq 9,1 \times 10^4 < 10^5
1
0
4
≤
9
,
1
×
1
0
4
<
1
0
5
1
0
3
≤
8
,
9
×
1
0
−
3
<
1
0
−
2
10^3 \leq 8,9 \times 10^{-3} < 10^{-2}
1
0
3
≤
8
,
9
×
1
0
−
3
<
1
0
−
2
Or,
1
0
−
2
<
1
0
4
10^{-2} < 10^4
1
0
−
2
<
1
0
4
Donc,
8
,
9
×
1
0
−
3
<
9
,
1
×
1
0
4
8,9 \times 10^{-3} < 9,1 \times 10^4
8
,
9
×
1
0
−
3
<
9
,
1
×
1
0
4
M'inscrire
Me Connecter
Afterclasse Premium
Objectifs du jour :
0/3
Découvrir
Niveau 3ème >
Français
Histoire
Géographie
Mathématiques
SVT
Physique-Chimie
Espagnol
Mes enfants
Mes classes
Fermer
6ème
5ème
4ème
3ème
2nde
Première
Terminale
Mon Profil
remplacer
Nom d'utilisateur
Prénom
Nom
Date de naissance
Niveau
6ème
5ème
4ème
3ème
2nde
Première
Terminale
Email
Email des Parents
Enregistrer
Changer mon mot de passe
Mon Profil
remplacer
Prénom
Nom
Matière
Allemand
Anglais
Arts plastiques
Espagnol
Français
Histoire-Géographie
Mathématiques
Musique
Philosophie
Physique-Chimie
SES
SVT
Email
Enregistrer
Changer mon mot de passe
Mon Profil
remplacer
Prénom
Nom
Email
Enregistrer
Changer mon mot de passe