Puissances et conversions

La base d’une puissance peut également être un nombre négatif.
On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe «$-$» fait partie de la base.

$(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$
alors que $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$

Quelle que soit la valeur de $a$, $a^0 = 1$.

Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier positif $n$, une puissance de $a$ à l’exposant négatif $-n$ s’écrit :

• $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

$a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$.

Si $a$ est un nombre non nul et $n$ un entier non nul :

• si $a > 0$, alors $a^n > 0$ ;
• si $a < 0$ :
• si $n$ est pair, alors $a^n > 0$
• si $n$ est impair, alors $a^n < 0$

Si $m$ et $n$ sont des entiers et $a$ un nombre non nul :

• $a^m \times a^n = a^{m+n}$
• $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Si $p$ est un entier positif, on généralise la règle précédente. (cf. image)

Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

Si $n$ est un entier et $a$ et $b$ des nombres non nuls :

• $a^n \times b^n = (a \times b)^n$
• $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$

Si $n$ est un entier positif :

• multiplier un nombre en écriture décimale par $10^n$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la droite ;
• multiplier un nombre en écriture décimale par $10^{-n}$ revient à décaler la virgule de $n$ crans vers la gauche.

Consigne :
Comparez $9,1 \times 10^4$ et $8,9 \times 10^{-3}$.

Correction :

• $10^4 \leq 9,1 \times 10^4 < 10^5$
• $10^3 \leq 8,9 \times 10^{-3} < 10^{-2}$
• Or, $10^{-2} < 10^4$
• Donc, $8,9 \times 10^{-3} < 9,1 \times 10^4$