CHAPITRE 2

Calcul littéral et équations

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DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION
2
RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION

Identités remarquables

Rappel

Identités remarquables

➔
Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Exemple

Consigne :
Factorisez l’expression

A = x^{2} + 2 x + 1

.

Correction :

A = x^{2} + 2 x + 1

est de la forme

a^{2} + 2 a b + b^{2}

avec

a = x

b = 1

A = (x)^{2} + (2 \times 1 \times x) + (1)^{2}

A = (x + 1)^{2}

Développement double

Rappel

Développement double

➔
On a toujours :

$(a + b) (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Exemple

Consigne :
Développez l'expression

(2 + x) (x + 3)

.

Correction :

(2 + x) (x + 3) = 2 \times x + 2 \times 3 + x \times x + x \times 3

(2 + x) (x + 3) = 2 x + 6 + x^{2} + 3 x

(2 + x) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6

Développement et factorisation

Rappel

Développement

➔
Développer une expression, c’est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

Exemple

Consigne :
Développez l’expression

3 (5 + x)

.

Correction :

3 (5 + x) = 3 \times (5 + x)

3 (5 + x) = 3 \times 5 + 3 \times x

3 (5 + x) = 15 + 3 x

Rappel

Factorisation

➔
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

Exemple

Consigne :
Factorisez l’expression

8 z + 5 z

.

Correction :

8 z + 5 z = z \times 8 + z \times 5

8 z + 5 z = z \times (8 + 5)

8 z + 5 z = z \times 13

8 z + 5 z = 13 z

Remarque

Développer ou factoriser permet de réduire une expression. C’est-à-dire, faire en sorte qu’elle comporte le moins de symboles et nombres possibles.

Distributivité

Rappel

Distributivité

➔
Pour tout nombre $k$ , $m$ et $n$ . On a toujours :

$k \times (m + n) = k \times m + k \times n$

Remarque

La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.

Démontrez une propriété par le calcul littéral

Rappel

Utilisation

➔
On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide du calcul littéral.

Exemple

Consigne :
Montrez que pour tous nombres

a, b, c

avec

c \neq = 0

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Correction :
À l'aide de la propriété de distributivé, nous obtenons :

(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \times c = \frac{a}{c} \times c + \frac{b}{c} \times c

(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \times c = a + b

donc

(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \times \frac{c}{c} = \frac{a + b}{c}

On a donc bien

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

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Calcul littéral et équations

Identités remarquables

Rappel

Identités remarquables

➔ Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres a et b : (a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2=a2−2ab+b2 (a+b)(a−b)=a2−b2

Exemple

Développement double

Rappel

Développement double

➔ On a toujours : (a+b)(c+d)=a×c+a×d+b×c+b×d

Exemple

Développement et factorisation

Rappel

Développement

➔ Développer une expression, c’est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

Exemple

Rappel

Factorisation

➔ Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

Exemple

Remarque

Distributivité

Rappel

Distributivité

➔ Pour tout nombre k, m et n. On a toujours : k×(m+n)=k×m+k×n

Remarque

Démontrez une propriété par le calcul littéral

Rappel

Utilisation

➔ On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide du calcul littéral.

Exemple

➔
Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres $a$ et $b$ :

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

➔
On a toujours :

$(a + b) (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

➔
Développer une expression, c’est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

➔
Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

➔
Pour tout nombre $k$ , $m$ et $n$ . On a toujours :

$k \times (m + n) = k \times m + k \times n$

➔
On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide du calcul littéral.