CHAPITRE 2
Calcul littéral et équations
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Chapitre 2 - Calcul littéral et équations - fiche de cours
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1
Développement et factorisation
2
Résolution d’une équation
1
Développement et factorisation
A
Distributivité
Rappel
Distributivité
Pour tout nombre
k
k
k
,
m
m
m
et
n
n
n
.
On a toujours :
k
×
(
m
+
n
)
=
k
×
m
+
k
×
n
k \times (m + n) = k \times m + k \times n
k
×
(
m
+
n
)
=
k
×
m
+
k
×
n
Remarque
La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.
B
Développement et factorisation
Rappel
Développement
Développer une expression, c’est
transformer un produit en somme
grâce à la propriété de distributivité.
Exemple
Consigne :
Développez l’expression
3
(
5
+
x
)
3(5 + x)
3
(
5
+
x
)
.
Correction :
3
(
5
+
x
)
=
3
×
(
5
+
x
)
3(5 + x) = 3 \times (5 + x)
3
(
5
+
x
)
=
3
×
(
5
+
x
)
3
(
5
+
x
)
=
3
×
5
+
3
×
x
3(5 + x) = 3 \times 5 + 3 \times x
3
(
5
+
x
)
=
3
×
5
+
3
×
x
3
(
5
+
x
)
=
1
5
+
3
x
3(5 + x) = 15 + 3x
3
(
5
+
x
)
=
1
5
+
3
x
Rappel
Factorisation
Factoriser une expression, c’est
transformer une somme en produit
grâce à la propriété de distributivité.
Exemple
Consigne :
Factorisez l’expression
8
z
+
5
z
8z + 5z
8
z
+
5
z
.
Correction :
8
z
+
5
z
=
z
×
8
+
z
×
5
8z + 5z = z \times 8 + z \times 5
8
z
+
5
z
=
z
×
8
+
z
×
5
8
z
+
5
z
=
z
×
(
8
+
5
)
8z + 5z = z \times (8 + 5)
8
z
+
5
z
=
z
×
(
8
+
5
)
8
z
+
5
z
=
z
×
1
3
8z + 5z = z \times 13
8
z
+
5
z
=
z
×
1
3
8
z
+
5
z
=
1
3
z
8z + 5z = 13z
8
z
+
5
z
=
1
3
z
Remarque
Développer ou factoriser permet de
réduire
une expression. C’est-à-dire, faire en sorte qu’elle comporte le moins de symboles et nombres possibles.
C
Développement double
Rappel
Développement double
On a toujours :
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
×
c
+
a
×
d
+
b
×
c
+
b
×
d
(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d
(
a
+
b
)
(
c
+
d
)
=
a
×
c
+
a
×
d
+
b
×
c
+
b
×
d
Exemple
Consigne :
Développez l'expression
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
(2+x)(x+3)
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
.
Correction :
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
=
2
×
x
+
2
×
3
+
x
×
x
+
x
×
3
(2 + x)(x+3) = 2 \times x + 2 \times 3 + x \times x + x \times 3
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
=
2
×
x
+
2
×
3
+
x
×
x
+
x
×
3
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
=
2
x
+
6
+
x
2
+
3
x
(2 + x)(x+3) = 2x + 6 + x^2 + 3x
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
=
2
x
+
6
+
x
2
+
3
x
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
=
x
2
+
5
x
+
6
(2 + x)(x+3) = x^2 + 5x + 6
(
2
+
x
)
(
x
+
3
)
=
x
2
+
5
x
+
6
D
Identités remarquables
Rappel
Identités remarquables
Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres
a
a
a
et
b
b
b
:
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
(a + b)(a - b) = a^2 - b^2
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
Exemple
Consigne :
Factorisez l’expression
A
=
x
2
+
2
x
+
1
A = x^2 + 2x + 1
A
=
x
2
+
2
x
+
1
.
Correction :
A
=
x
2
+
2
x
+
1
A = x^2 + 2x + 1
A
=
x
2
+
2
x
+
1
est de la forme
a
2
+
2
a
b
+
b
2
a^2 + 2ab + b^2
a
2
+
2
a
b
+
b
2
avec
a
=
x
a = x
a
=
x
et
b
=
1
b = 1
b
=
1
.
A
=
(
x
)
2
+
(
2
×
1
×
x
)
+
(
1
)
2
A = (x)^2 + (2 \times 1 \times x) + (1)^2
A
=
(
x
)
2
+
(
2
×
1
×
x
)
+
(
1
)
2
A
=
(
x
+
1
)
2
A = (x+1)^2
A
=
(
x
+
1
)
2
E
Démontrez une propriété par le calcul littéral
Rappel
Utilisation
On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide du calcul littéral.
Exemple
Consigne :
Montrez que pour tous nombres
a
,
b
,
c
a, b, c
a
,
b
,
c
avec
c
≠
0
c\neq0
c
≠
0
:
a
c
+
b
c
=
a
+
b
c
\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
c
a
+
c
b
=
c
a
+
b
Correction :
À l'aide de la propriété de distributivé, nous obtenons :
(
a
c
+
b
c
)
×
c
=
a
c
×
c
+
b
c
×
c
(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})\times c=\frac{a}{c}\times c+\frac{b}{c}\times c
(
c
a
+
c
b
)
×
c
=
c
a
×
c
+
c
b
×
c
(
a
c
+
b
c
)
×
c
=
a
+
b
(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})\times c=a+b
(
c
a
+
c
b
)
×
c
=
a
+
b
donc
(
a
c
+
b
c
)
×
c
c
=
a
+
b
c
(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})\times \frac{c}{c}=\frac{a+b}{c}
(
c
a
+
c
b
)
×
c
c
=
c
a
+
b
On a donc bien
a
c
+
b
c
=
a
+
b
c
\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}
c
a
+
c
b
=
c
a
+
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