Calcul littéral et équations

Pour tout nombre $k$, $m$ et $n$. On a toujours :

• $k \times (m + n) = k \times m + k \times n$

Consigne :
Développez l’expression $3(5 + x)$.

Correction :
$3(5 + x) = 3 \times (5 + x)$
$3(5 + x) = 3 \times 5 + 3 \times x$
$3(5 + x) = 15 + 3x$

Consigne :
Factorisez l’expression $8z + 5z$.

Correction :
$8z + 5z = z \times 8 + z \times 5$
$8z + 5z = z \times (8 + 5)$
$8z + 5z = z \times 13$
$8z + 5z = 13z$

On a toujours :

• $(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

Consigne :
Développez l'expression $(2+x)(x+3)$.

Correction :
$(2 + x)(x+3) = 2 \times x + 2 \times 3 + x \times x + x \times 3$
$(2 + x)(x+3) = 2x + 6 + x^2 + 3x$
$(2 + x)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres $a$ et $b$ :

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Consigne :
Factorisez l’expression $A = x^2 + 2x + 1$.

Correction :
$A = x^2 + 2x + 1$ est de la forme $a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 1$.
$A = (x)^2 + (2 \times 1 \times x) + (1)^2$
$A = (x+1)^2$

On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide du calcul littéral.

Consigne :
Montrez que pour tous nombres $a, b, c$ avec $c\neq0$ :
$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$

Correction : 
À l'aide de la propriété de distributivé, nous obtenons : 
$(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})\times c=\frac{a}{c}\times c+\frac{b}{c}\times c$

$(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})\times c=a+b$

donc $(\frac{a}{c}+\frac{b}{c})\times \frac{c}{c}=\frac{a+b}{c}$

On a donc bien $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$