CHAPITRE 3

Calcul littéral et équations

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Expression littérale (rappels)

Développement et factorisation

Résolution d’équations

Expression littérale (rappels)

- Rappel
  Expression littérale
  Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d’expression littérale.
- Rappel
  Variable
  Dans une expression littérale, les lettres que l’on utilise à la place des nombres sont appelées variables.
- ASimplifier une expression littérale
  - Règle
    Notation
    
    Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « $\times$ » de la multiplication lorsqu'il est placé entre :
    
    2 variables ;
    
    un chiffre et une variable ;
    
    un chiffre et une parenthèse ;
    
    deux parenthèses.
    
    On note aussi $x^2$ le produit $x \times x$ , $x^3$ le produit $x \times x \times x$ .
  - Exemple
    $a \times b = ab$
    
    $b \times 10 = 10 \times b = 10b$
    
    $3 \times (a + 5) = 3(a + 5)$
    
    $(2 - a) \times (b +5) = (2 - a)(b + 5)$
    
    $2 \times \pi \times r = 2 \pi r$
- BUtilisation des expressions littérales
  - Définition
    Égalité
    
    Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n’importe quel nombre.
    
    Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.
  - Exemple
    Consigne :
    Les expressions suivantes sont-elles égales ?
    a. $(a+5) + 3$ et $a + 8$
    b. $5(3+a)$ et $a+15$
    
    Correction :
    a. Pour tout nombre $a$ , d’après les règles sur les parenthèses :
    
    $(a+5) + 3 = a + 5 + 3$
    
    $(a+5) + 3 = a + 8$
    
    Ces expressions sont donc égales.
    
    b. Pour $a=1$ , on a $5(3 +a) = 5(3+1)=20$ et $a+15 = 1 + 15 =16$
    $16 \ne 20$ donc ces expressions sont différentes.
    Attention ! Pour $a=0$ , on a bien $5(3+0)=0+15$ . Pourtant, ces expressions sont bien différentes.
  - Règle
    Notation
    Dans les formules, on utilise le signe « $=$ » pour indiquer que plusieurs grandeurs d’un objet ou d’un phénomène sont liées.
  - Exemple
    Consigne :
    Si un objet se déplace à une vitesse moyenne $v$ sur une distance $d$ en un temps $t$ , alors $v = \frac{d}{t}$ .
    Un coureur de marathon parcourt $28 \ km$ en deux heures.
    À quelle vitesse court-il ?
    
    Correction :
    $d = 28 \ km$ , $t = 2 \ h$ et $v = \frac{d}{t}$ donc $v=\frac{28}{2}=14$
    Le coureur a donc une vitesse de $14 \ km/h$ .

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