CHAPITRE 2

Nombres relatifs

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Nombres relatifs et repérage

Addition et soustraction

Nombres relatifs et repérage

- ADéfinitions
  - Définition
    Nombres relatifs
    
    On écrit un nombre relatif avec un signe ( $+$ : signe positif ; $-$ : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ».
    
    Un nombre positif est un nombre supérieur à $0$ .
    
    ex. : $2,7$ ; $4 \ 150$ ; $0,8$ .
    
    Un nombre négatif est un nombre inférieur à $0$ .
    
    ex. : $-5$ ; $-1431$ ; $-0,4$ .
    
    Les nombres positifs et négatifs forment l’ensemble des nombres relatifs.
  - Remarque
    Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif.
  - Exemple
    $-7,8$ est un nombre relatif :
    
    il est négatif ( signe « $-$ ») ;
    
    sa distance à zéro est $7,8$ .
    
    $-\frac{1}{3}$ est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est $\frac{1}{3}$ .
  - Définition
    Opposé d’un nombre
    L’opposé d’un nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.
  - Exemple
    $-3,2$ est l’opposé de $3,2$ .
    
    $3,2$ est l’opposé de $-3,2$ .
  - Remarque
    L’opposé de zéro est zéro.
    
    Sur une droite graduée, deux points d’abscisses opposées sont symétriques par rapport à l’origine du repère.
- BSe repérer avec les nombres relatifs
  - Règle
    Repérage sur une droite graduée
    Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et les nombres négatifs à gauche de zéro.
  - Règle
    Construire un repère orthogonal
    
    On trace deux axes perpendiculaires :
    
    un axe $(Ox)$ , souvent horizontal, orienté vers la droite. C’est l’axe des abscisses ;
    
    un axe $(Oy)$ , souvent vertical, orienté vers le haut. C’est l’axe des ordonnées ;
    
    l’intersection de ces deux axes est l’origine du repère, qu’on appelle généralement $O$ .
    
    On définit une unité. On place un point $I$ sur l’axe des abscisses et un point $J$ sur l’axe des ordonnées afin de définir l’unité de longueur $OI = OJ = 1$ . Ce repère est noté le repère $(O, I, J)$ .
  - Règle
    Placer un repère
    
    Pour placer un point dans un repère, on utilise $2$ nombres : l’abscisse et l’ordonnée.
    
    Si un point $A$ a pour abscisse le nombre $a$ et pour ordonnée le nombre $b$ , on le note $A(a$ ; $b)$ .
  - Exemple
    Sur le repère précédent, le point $A (3$ ; $-2)$ a pour abscisse $3$ et pour ordonnée $-2$ .
- CComparer des nombres relatifs
  - Définition
    Comparer deux nombres
    Comparer deux nombres, c’est dire si l’un est strictement inférieur ou supérieur à l’autre, ou s’ils sont égaux.
  - Propriété
    Règles de comparaison
    
    Si les deux nombres sont de signes opposés :
    
    le nombre négatif est alors strictement inférieur au nombre positif, sauf si les deux nombres sont nuls.
    
    Si les deux nombres sont de même signe :
    
    s’ils sont positifs, le plus petit est celui qui est le plus proche de $0$ , donc dont la distance à zéro est la plus petite.
    
    s’ils sont négatifs, le plus petit est celui qui est le plus éloigné de $0$ , donc dont la distance à zéro est la plus grande.
    
    Dans tous les cas, le nombre le plus petit est celui qui est situé le plus à gauche sur une droite graduée.
  - Exemple
    Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée.
    On a donc $-2,5 < -1 < 0 < 1 < 3,2$ .