CHAPITRE 11
Triangles, rectangles et losanges
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Chapitre 11 - Triangles, rectangles et losanges - fiche de cours
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1
Propriétés des triangles usuels
2
Propriétés des quadrilatères usuels
À savoir refaire
À savoir refaire
Repérer des triangles rectangles
Nomme tous les triangles rectangles que l’on peut construire avec les sommets
A
A
A
,
B
B
B
,
C
C
C
,
D
D
D
,
E
E
E
et
F
F
F
.
0
0
Repérer les angles droits
Tu repères les angles droits : ils sont situés sur les points
D
D
D
et
B
B
B
.
1
1
Nommer les triangles rectangles en D
Pour le sommet
D
D
D
, tu peux construire le triangle
B
C
D
BCD
B
C
D
, rectangle en
D
D
D
.
2
2
Nommer les triangles rectangles en B
Pour le sommet
B
B
B
, tu peux construire :
le triangle
B
C
A
BCA
B
C
A
, rectangle en
B
B
B
;
le triangle
B
E
A
BEA
B
E
A
, rectangle en
B
B
B
;
le triangle
B
C
F
BCF
B
C
F
, rectangle en
B
B
B
;
le triangle
B
E
F
BEF
B
E
F
, rectangle en
B
B
B
.
Repérer des triangles isocèles
Repére les triangles isocèles dans cette figure et prouver que
C
D
E
^
=
D
E
C
^
\widehat{CDE} = \widehat{DEC}
C
D
E
=
D
E
C
.
0
0
Repérer les segments de même longueur
Repère les segments de même longueur :
A
B
=
A
C
AB = AC
A
B
=
A
C
et
C
D
=
C
E
CD = CE
C
D
=
C
E
.
1
1
Trouver les triangles iocèles
Donc
A
B
C
ABC
A
B
C
est isocèle en
A
A
A
et
C
D
E
CDE
C
D
E
est isocèle en
C
C
C
.
2
2
En déduire des angles égaux
Dans le triangle
C
D
E
CDE
C
D
E
(isocèle en
C
C
C
), les deux angles qui n’ont pas
C
C
C
comme sommet sont égaux.
3
3
Conclure
Donc
C
D
E
^
=
D
E
C
^
\widehat{CDE} = \widehat{DEC}
C
D
E
=
D
E
C
.
Étudier les angles d’un triangle équilatéral
Montre que
C
A
B
^
=
B
C
A
^
\widehat{CAB} = \widehat{BCA}
C
A
B
=
B
C
A
.
0
0
Déterminer la nature du triangle
Le triangle
A
B
C
ABC
A
B
C
est isocèle en
B
B
B
.
1
1
Trouver les angles égaux
Dans un triangle isocèle en
B
B
B
, les deux angles dont le sommet n’est pas
B
B
B
sont égaux.
2
2
Conclure
Ainsi
C
A
B
^
=
B
C
A
^
\widehat{CAB} = \widehat{BCA}
C
A
B
=
B
C
A
.
Étudier les angles d’un losange
Montre que les angles
B
A
D
^
=
D
C
B
^
\widehat{BAD} = \widehat{DCB}
B
A
D
=
D
C
B
.
0
0
Étudier la symétrie
Tu sais que
(
B
D
)
(BD)
(
B
D
)
est un axe de symétrie :
C
C
C
est le symétrique de
A
A
A
par rapport à
(
B
D
)
(BD)
(
B
D
)
.
B
B
B
et
D
D
D
sont situés sur l’axe de symétrie :
B
B
B
est le symétrique de
B
B
B
,
D
D
D
est le symétrique de
D
D
D
.
Donc le symétrique de l'angle
B
A
D
^
\widehat{BAD}
B
A
D
est l'angle
D
C
B
^
\widehat{DCB}
D
C
B
.
1
1
En déduire l'égalité des angles
Or la symétrie conserve les angles.
Donc les angles
B
A
D
^
\widehat{BAD}
B
A
D
et
D
C
B
^
\widehat{DCB}
D
C
B
sont égaux.
Établir le parallélisme des côtés d’un rectangle
Soit le triangle ABCD.
Montre que les droites
(
A
D
)
(AD)
(
A
D
)
et
(
B
C
)
(BC)
(
B
C
)
sont parallèles.
0
0
Trouver les droites perpendiculaires
La droite
(
A
D
)
(AD)
(
A
D
)
est perpendiculaire à la droite
(
D
C
)
(DC)
(
D
C
)
et la droite
(
B
C
)
(BC)
(
B
C
)
est perpendiculaire à la droite
(
D
C
)
(DC)
(
D
C
)
.
1
1
Énoncer la règle des droites perpendiculaires
Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles.
2
2
Conclure
Ainsi
(
A
D
)
(AD)
(
A
D
)
est parallèle à
(
B
C
)
(BC)
(
B
C
)
:
(
A
D
)
/
/
(
B
C
)
(AD)/\!/(BC)
(
A
D
)
/
/
(
B
C
)
.
Étudier les longueurs des côtés d’un rectangle
Montre que
A
D
=
B
C
AD = BC
A
D
=
B
C
.
0
0
Chercher les points symétriques
Dans la symétrie d’axe bleu,
B
B
B
est le symétrique de
A
A
A
et
C
C
C
est le symétrique de
D
D
D
.
1
1
En déduire les côtés symétriques
Donc le symétrique de
[
A
D
]
[AD]
[
A
D
]
est
[
B
C
]
[BC]
[
B
C
]
.
2
2
Conclure
Or la symétrie conserve les distances, donc
A
D
=
B
C
AD = BC
A
D
=
B
C
.
Étudier les diagonales d’un rectangle
Montre que
O
D
=
O
C
OD = OC
O
D
=
O
C
.
0
0
Chercher les points symétriques
Dans la symétrie par rapport à la droite orange,
O
O
O
est le symétrique de
O
O
O
et
C
C
C
est le symétrique de
D
D
D
.
1
1
En déduire les diagonales symétriques
Donc le symétrique de
[
O
D
]
[OD]
[
O
D
]
est
[
O
C
]
[OC]
[
O
C
]
.
2
2
Conclure
Or la symétrie conserve les distances.
Ainsi
O
D
=
O
C
OD = OC
O
D
=
O
C
.
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