Triangles, rectangles et losanges

Tu repères les angles droits : ils sont situés sur les points $D$ et $B$.

Pour le sommet $D$, tu peux construire le triangle $BCD$, rectangle en $D$.

Pour le sommet $B$, tu peux construire :

• le triangle $BCA$, rectangle en $B$ ;
• le triangle $BEA$, rectangle en $B$;
• le triangle $BCF$, rectangle en $B$;
• le triangle $BEF$, rectangle en $B$.

Repère les segments de même longueur : $AB = AC$ et $CD = CE$.

Donc $ABC$ est isocèle en $A$ et $CDE$ est isocèle en $C$.

Dans le triangle $CDE$ (isocèle en $C$), les deux angles qui n’ont pas $C$ comme sommet sont égaux.

Donc $\widehat{CDE} = \widehat{DEC}$.

Le triangle $ABC$ est isocèle en $B$.

Dans un triangle isocèle en $B$, les deux angles dont le sommet n’est pas $B$ sont égaux.

Ainsi $\widehat{CAB} = \widehat{BCA}$.

La droite $(AD)$ est perpendiculaire à la droite $(DC)$ et la droite $(BC)$ est perpendiculaire à la droite $(DC)$.

Or deux droites perpendiculaires à une même troisième droite sont parallèles.

Ainsi $(AD)$ est parallèle à $(BC)$ : $(AD)/\!/(BC)$.

Dans la symétrie d’axe bleu, $B$ est le symétrique de $A$ et $C$ est le symétrique de $D$.

Donc le symétrique de $[AD]$ est $[BC]$.

Or la symétrie conserve les distances, donc $AD = BC$.

Dans la symétrie par rapport à la droite orange, $O$ est le symétrique de $O$ et $C$ est le symétrique de $D$.

Donc le symétrique de $[OD]$ est $[OC]$.

Or la symétrie conserve les distances. 
Ainsi $OD = OC$.