CHAPITRE 4

Multiplication, division décimale

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1
MAÎTRISER LES OPÉRATIONS ET LEURS PROPRIÉTÉS
2
MULTIPLIER UN NOMBRE DÉCIMAL PAR 0,1; 0,01; 0,001, ETC.
3
CALCULER L’ORDRE DE GRANDEUR D’UNE MULTIPLICATION
À SAVOIR REFAIRE

La division décimale

Remarque

Lorsque l’on effectue la division décimale, le calcul devrait se poursuivre jusqu’au bout, c’est-à-dire quand le reste s’annule.

Exemple

Remarque

On ne peut pas toujours poursuivre le calcul d’une division décimale jusqu’au bout : il peut se prolonger indéfiniment. Dans ce cas, on ne peut pas calculer son résultat exact.

Exemple

Définition

Quotient

➔
Le quotient est le résultat de la division d’un dividende par un diviseur.

Remarque

Le quotient

7, 2 \div 4

est le nombre

x

vérifiant

4 \times x = 7, 2

.
Ainsi :

$4 \times (7, 2 \div 4) = 7, 2$ .
$4 \times 1, 8 = 7, 2$

7, 4 \times x = 25, 16

que vaut

x

C’est $25, 16 \div 7, 4 = 3, 4$

Exemple

$0, 314 \div 7 = 2, 198$ et $2, 198 \neq = 2$ ! $0, 314$ n’est pas le quotient de $2, 2$ par $7$ .
$8, 3 \div 2 = 4, 15$ car $4, 15 \times 2 = 8, 3$ !

Remarque

$a \div b$ n’est défini que si $b \neq = 0$ ! En effet, si $b = 0$ pour tout nombre $x$ , on a : $b \times x = 0$ .
Il ne faut pas confondre le quotient d’une division décimale (c’est son résultat) et le quotient d’une division euclidienne (c’est un nombre entier).
La division n’est pas commutative, c'est-à-dire qu'on ne peut pas inverser dividende et diviseur :
$4 \div 3$ n’est pas égal à $3 \div 4$ .

Remarque

Le quotient de deux nombres n’est pas nécessairement un nombre décimal.

Exemple

1 \div 3 = 0, 3333 . . .

Quel est le quotient ?

La division ne s’arrête jamais, le quotient

1 \div 3

n’a pas d’écriture décimale. Il faut utiliser le mot « environ ».

Rappel

Vocabulaire de la division :

➔

Moitié : division par $2$ , ou multiplication par $0, 5$ .

Tiers : division par $3$ .

Quart : division par $4$ , ou multiplication par $0, 25$ .

La multiplication

Définition

Multiplication

➔
La multiplication de deux facteurs s’appelle le produit.

Propriété

L'ordre dans une multiplication

➔
Le produit ne dépend pas de l’ordre dans lequel on a multiplié les facteurs.

$a \times b = b \times a$

$4 \times 5 = 5 \times 4$

Propriété

Regrouper les nombres dans une multiplication

➔
Le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs.

$2 \times 3 \times 4 = 6 \times 4 = 24$

$2 \times 3 \times 4 = 2 \times 12 = 24$

Remarque

Le produit de deux termes n’est pas nécessairement supérieur à ces deux termes.

Ex. : $0, 6 \times 0, 8 = 0, 48$ .

Quand on multiplie par un nombre plus grand que $1$ , on augmente :

Ex. : $4 \times 2, 3 = 9, 2$ .

Quand on multiplie par un nombre plus petit que $1$ , on diminue :

Ex. : $0, 6 \times 80 = 48$ .

Remarque

Pour tout nombre a, on a toujours $a \times 1 = 1 \times a = a$ .
- Ex. : $1 \times 3, 4 = 3, 4 \times 1 = 3, 4$ .
On a aussi toujours $a \times 0 = 0 \times a = 0$ .
- Quand on multiplie par $0$ cela fait toujours $0$ !
- Ex. : $22010, 74 \times 0 = 0$ .

Rappel

Vocabulaire de la multiplication :

➔

Double : multiplication par $2$ .

Triple : multiplication par $3$ .

Quadruple : multiplication par $4$ .

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Multiplication, division décimale

La division décimale

Remarque

Exemple

Remarque

Exemple

Définition

Quotient

➔ Le quotient est le résultat de la division d’un dividende par un diviseur.

Remarque

Exemple

Remarque

Remarque

Exemple

Rappel

Vocabulaire de la division :

➔ Moitié : division par 2, ou multiplication par 0,5. Tiers : division par 3. Quart : division par 4, ou multiplication par 0,25.

La multiplication

Définition

Multiplication

➔ La multiplication de deux facteurs s’appelle le produit.

Propriété

L'ordre dans une multiplication

➔ Le produit ne dépend pas de l’ordre dans lequel on a multiplié les facteurs. a×b=b×a 4×5=5×4

Propriété

Regrouper les nombres dans une multiplication

➔ Le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs. 2×3×4=6×4=24 2×3×4=2×12=24

Remarque

Remarque

Rappel

Vocabulaire de la multiplication :

➔ Double : multiplication par 2. Triple : multiplication par 3. Quadruple : multiplication par 4.

➔
Le quotient est le résultat de la division d’un dividende par un diviseur.

➔

Moitié : division par $2$ , ou multiplication par $0, 5$ .

Tiers : division par $3$ .

Quart : division par $4$ , ou multiplication par $0, 25$ .

➔
La multiplication de deux facteurs s’appelle le produit.

➔
Le produit ne dépend pas de l’ordre dans lequel on a multiplié les facteurs.

$a \times b = b \times a$

$4 \times 5 = 5 \times 4$

➔
Le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs.

$2 \times 3 \times 4 = 6 \times 4 = 24$

$2 \times 3 \times 4 = 2 \times 12 = 24$

➔

Double : multiplication par $2$ .

Triple : multiplication par $3$ .

Quadruple : multiplication par $4$ .