CHAPITRE 4

Multiplication, division décimale

NON COMMENCÉ

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Maîtriser les opérations et leurs propriétés

Multiplier un nombre décimal par 0,1; 0,01; 0,001, etc.

Calculer l’ordre de grandeur d’une multiplication

À savoir refaire

Maîtriser les opérations et leurs propriétés

- ALa multiplication
  - Définition
    Multiplication
    La multiplication de deux facteurs s’appelle le produit.
  - Propriété
    L'ordre dans une multiplication
    Le produit ne dépend pas de l’ordre dans lequel on a multiplié les facteurs.
    
    $a \times b = b \times a$
    
    $4 \times 5 = 5 \times 4$
  - Propriété
    Regrouper les nombres dans une multiplication
    Le produit ne dépend pas de la façon dont on a regroupé les facteurs.
    
    $2 \times 3 \times 4 = 6 \times 4 = 24$
    
    $2 \times 3 \times 4 = 2 \times 12 = 24$
  - Remarque
    Le produit de deux termes n’est pas nécessairement supérieur à ces deux termes.
    
    Ex. : $0,6 \times 0,8 = 0,48$ .
    
    Quand on multiplie par un nombre plus grand que $1$ , on augmente :
    
    Ex. : $4 \times 2,3 = 9,2$ .
    
    Quand on multiplie par un nombre plus petit que $1$ , on diminue :
    
    Ex. : $0,6 \times 80 = 48$ .
  - Remarque
    Pour tout nombre a, on a toujours $a \times 1 = 1 \times a = a$ .
    
    Ex. : $1 \times 3,4 = 3,4 \times 1 = 3,4$ .
    
    On a aussi toujours $a \times 0 = 0 \times a = 0$ .
    
    Quand on multiplie par $0$ cela fait toujours $0$ !
    
    Ex. : $22\ 010,74 \times 0 = 0$ .
  - Rappel
    Vocabulaire de la multiplication :
    
    Double : multiplication par $2$ .
    
    Triple : multiplication par $3$ .
    
    Quadruple : multiplication par $4$ .
- BLa division décimale
  - Remarque
    Lorsque l’on effectue la division décimale, le calcul devrait se poursuivre jusqu’au bout, c’est-à-dire quand le reste s’annule.
  - Exemple
  - Remarque
    On ne peut pas toujours poursuivre le calcul d’une division décimale jusqu’au bout : il peut se prolonger indéfiniment. Dans ce cas, on ne peut pas calculer son résultat exact.
  - Exemple
  - Définition
    Quotient
    Le quotient est le résultat de la division d’un dividende par un diviseur.
  - Remarque
    Le quotient $7,2 \div 4$ est le nombre $x$ vérifiant $4 \times x = 7,2$ .
    Ainsi :
    
    $4 \times (7,2 \div 4) = 7,2$ .
    
    $4 \times 1,8 = 7,2$
    
    $7,4 \times x = 25,16$ que vaut $x$ ?
    
    C’est $25,16 \div 7,4 = 3,4$
  - Exemple
    $0,314 \div 7 = 2,198$ et $2,198 \neq 2$ ! $0,314$ n’est pas le quotient de $2,2$ par $7$ .
    
    $8,3 \div 2 = 4,15$ car $4,15 \times 2 = 8,3$ !
  - Remarque
    $a \div b$ n’est défini que si $b \neq 0$ ! En effet, si $b = 0$ pour tout nombre $x$ , on a : $b \times x = 0$ .
    
    Il ne faut pas confondre le quotient d’une division décimale (c’est son résultat) et le quotient d’une division euclidienne (c’est un nombre entier).
    
    La division n’est pas commutative, c'est-à-dire qu'on ne peut pas inverser dividende et diviseur :
    $4 \div 3$ n’est pas égal à $3 \div 4$ .
  - Remarque
    Le quotient de deux nombres n’est pas nécessairement un nombre décimal.
  - Exemple
    $1 \div 3 = 0,3333...$ Quel est le quotient ?
    
    La division ne s’arrête jamais, le quotient $1 \div 3$ n’a pas d’écriture décimale. Il faut utiliser le mot « environ ».
  - Rappel
    Vocabulaire de la division :
    
    Moitié : division par $2$ , ou multiplication par $0,5$ .
    
    Tiers : division par $3$ .
    
    Quart : division par $4$ , ou multiplication par $0,25$ .