Musique et nombres

• Une note correspond à la hauteur d’un son, caractérisée par la fréquence fondamentale du son en hertz.


• L'intervalle en musique est le rapport $\frac{f_2}{f_1}$ entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ telles que $f_2>f_1$.


• Lorsque l'intervalle entre deux notes vaut 2, cet intervalle s'appelle une octave. Deux notes à l'octave portent le même nom.


• Entre deux notes à l’octave, on trouve une suite finie de notes dont les fréquences sont comprises entre $f_1$ et $2f_1$ que l'on appelle une gamme.

A

La gamme de Pythagore

• Dès l’Antiquité, la construction des gammes fut basée sur des fractions simples, (2/1, 3/2, 4/3, etc.). Des sons dont les fréquences sont dans ces rapports simples sont consonants (ils provoquent une sensation agréable à l’écoute).


• Pythagore, pour définir la gamme, s’est servi de la quinte qui est l'intervalle entre deux fréquences de rapport 3/2.
❯ Pour construire sa gamme, il a pris la quinte de la note de départ de sa gamme, a obtenu la fréquence d'une note, puis il a pris la quinte de la quinte de la note de départ et ainsi de suite 12 fois pour obtenir les 12 notes de sa gamme.
❯ La gamme de Pythagore est basée sur le cycle des quintes.

B

La gamme tempérée

• L'inconvénient de la gamme de Pythagore est que l’intervalle entre deux notes consécutives n’est pas constant, provoquant des dissonances (comme la quinte du loup).


• La gamme tempérée de Jean-Sébastien Bach comporte 12 notes dont les intervalles successifs (c'est-à-dire le rapport entre les fréquences $\frac{f_{i+1}}{f_i})$ valent $\sqrt[12]{2}=1,0594630943593$..., qui est un nombre irrationnel.