1

Étudier une suite de matrices colonnes ${\mathbf{U}}_{\mathbf{n}+1}=\mathbf{A}{\mathbf{U}}_{\mathbf{n}}+\mathbf{B}$. Cela permet de :

✔ étudier des couples de suites $\left(u_n;v_n\right)$ définies par récurrences croisées ;
✔ étudier un système dynamique tel que le système proie‑prédateur.

2

Associer un graphe à une chaîne de Markov. Cela permet de :

✔ visualiser les probabilités de transition et ainsi obtenir la matrice de transition $\mathrm{P}$ ;
✔ trouver les probabilités de transitions manquantes en prenant en compte le fait que la somme des probabilités sortantes d’un état vaut $1$.

3

Étudier une chaîne de Markov sur plusieurs rangs. Cela permet de :

✔ connaître la distribution de probabilité ${\pi }_{n+1}={\pi }_n\mathrm{P}$ de la chaîne de Markov après un nombre donné de transitions ;
✔ calculer la distribution de probabilité après $n$ transitions en utilisant ${\pi }_n={\pi }_0\times {\mathrm{P}}^n$.

4

Trouver une distribution invariante $\mathbf{\pi }$ d’une chaîne de Markov, c’est‑à‑dire une matrice ligne vérifiant $\mathbf{\pi }=\mathbf{\pi }\mathbf{P}$
Cela permet de :

✔ déterminer une distribution asymptotique de la chaîne de Markov ;
✔ déterminer la distribution asymptotique de la chaîne de Markov lorsque la matrice de transition $\mathrm{P}$ ne contient pas de $0$.