1

D’après l’algorithme d’Euclide, le $\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{C}\mathbf{D}$ des entiers naturels $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ est égal au dernier reste non nul lorsqu’on effectue les divisions euclidiennes successives. Cela permet de :

✔ déterminer le $\text{PGCD}$ de deux entiers ;
✔ montrer que deux entiers sont premiers entre eux en vérifiant que leur $\text{PGCD}$ vaut $1$.

2

D’après l’identité de Bézout, pour tout couple $(\mathbf{a};\mathbf{b})\in (\mathbb{Z}{)}^2$, il existe $(\mathbf{u};\mathbf{v})\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que $\mathbf{a}\mathbf{u}+\mathbf{b}\mathbf{v}=\mathbf{P}\mathbf{G}\mathbf{C}\mathbf{D}(\mathbf{a};\mathbf{b})$. Cela permet de :

✔ montrer que deux entiers sont premiers entre eux ;
✔ déterminer si un entier est inversible modulo un entier naturel non nul ;
✔ démontrer le théorème de Gauss ;
✔ déterminer si une équation diophantienne de la forme $ax+by=c$ admet une solution.

3

D’après le théorème de Gauss, pour tous entiers relatifs non nuls $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$, si $\mathbf{a}$ divise $\mathbf{b}\mathbf{c}$ et si $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont premiers entre eux, alors $\mathbf{a}$ divise $\mathbf{c}$. Cela permet de :

✔ résoudre une équation diophantienne de la forme $ax=by$ ;
✔ résoudre une congruence de la forme $ax\equiv 0[n]$ lorsque $a$ et $n$ sont deux entiers naturels premiers entre eux.

4

D’après le corollaire du théorème de Gauss, pour tous entiers relatifs non nuls $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$, si $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$ sont premiers entre eux et divisent $\mathbf{a}$, alors $\mathbf{b}\mathbf{c}$ divise $\mathbf{a}$. Cela permet d’ :

✔ établir la divisibilité d’un nombre par le produit de deux entiers premiers entre eux.