1

Soient trois entiers $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$. On dit que $\mathbf{a}$ divise $\mathbf{b}$ lorsqu’il existe un entier relatif $\mathbf{k}$ tel que $\mathbf{b}=\mathbf{k}\times \mathbf{a}$. On note $\mathbf{a}|\mathbf{b}$. De plus, si $\mathbf{a}|\mathbf{b}$ et $\mathbf{a}|\mathbf{c}$, alors, pour tous entiers $\mathbf{m}$ et $\mathbf{n}$, $\mathbf{a}|(\mathbf{m}\mathbf{b}+\mathbf{n}\mathbf{c})$. Cela permet de :

✔ déterminer les diviseurs d’un entier ;
✔ montrer qu’un entier $b$ est divisible par un entier $a$ ;
✔ déterminer des solutions entières d’équations en se ramenant à une équation du type $\text{A}\times \text{B}=\text{C}$ où les diviseurs de $\text{C}$ sont connus ;
✔ déterminer les diviseurs communs à deux entiers.

2

Soient deux entiers $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ avec $\mathbf{b}$ strictement positif. Effectuer la division euclidienne de $\mathbf{a}$ par $\mathbf{b}$, c’est déterminer l’unique couple d’entiers $(\mathbf{q};\mathbf{r})$ tel que $\mathbf{a}=\mathbf{b}\mathbf{q}+\mathbf{r}$ et $0⩽\mathbf{r}<\mathbf{b}$. Cela permet de :

✔ raisonner par disjonction de cas pour établir une divisibilité ;
✔ résoudre des problèmes de codage (clé de contrôle).

3

Soient deux entiers relatifs $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$, et $\mathbf{m}$ un entier naturel non nul. $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont congrus modulo $\mathbf{m}$ lorsqu’ils ont le même reste dans la division euclidienne par $\mathbf{m}$. On note $\mathbf{a}\equiv \mathbf{b}[\mathbf{m}]$ . De plus, $\mathbf{a}\equiv \mathbf{b}[\mathbf{m}]\iff \mathbf{m}|(\mathbf{b}-\mathbf{a})$. Cela permet de :

✔ établir les propriétés sur les congruences (compatibilité avec l’addition et la multiplication) ;
✔ établir un test de divisibilité ;
✔ étudier des problèmes de chiffrement ;
✔ résoudre une équation du type $ax\equiv b[m]$.