1

Dans un repère orthonormé direct $(\mathrm{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on peut associer, à tout point $\text{M}$ de coordonnées $(x;y)$, le nombre complexe $z=x+\mathrm{i}y$. On dit que $z$ est l’affixe du point $\text{M}$ et du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}}$.
On appelle module de $z$ le nombre réel $|z|=\mathrm{O}\mathrm{M}=\sqrt{x^2+y^2}$ et, pour $z\ne 0$, on appelle arguments de $z$ les nombres $\arg (z)=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{M}})+k\times 2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$). Cela permet de :

✔ étudier des configurations géométriques ;
✔ résoudre des problèmes d’alignement de points et de parallélisme ou d’orthogonalité de droites.

2

Pour tout nombre complexe non nul de forme algébrique $z=x+\mathrm{i}y$, on peut déterminer une forme trigonométrique $|z|(\cos (\alpha )+\mathrm{i}\sin (\alpha ))$ et une forme exponentielle $|z|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }$.
De plus, on a $\cos (\alpha )=\frac{x}{|z|}$ et $\sin (\alpha )=\frac{y}{|z|}$. Cela permet de :

✔ simplifier le calcul de module et d’arguments d’un nombre complexe défini par une somme, un produit ou un quotient de nombres complexes ;
✔ résoudre des problèmes géométriques, en particulier ceux en lien avec des calculs d’angles.

3

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ et $n\in \mathbb{N}$, $\cos (\theta )=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2}$ et $\sin (\theta )=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2\mathrm{i}}$ (formules d’Euler) et $\cos (n\theta )+\mathrm{i}\sin (n\theta )=(\cos (\theta )+\mathrm{i}\sin (\theta ){)}^n$ (formule de Moivre). Cela permet de :

✔ linéariser des expressions trigonométriques ;
✔ simplifier l’étude de certaines suites et intégrales.

4

L’ensemble des solutions complexes de $z^n=1$ (où $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) est ${\mathbb{U}}_n=\{{\mathrm{e}}^{\frac{2\mathrm{i}\pi k}{n}},k\in \mathbb{N},0⩽k⩽n-1\}$.
Cela permet de :

✔ résoudre certaines équations polynomiales dans $\mathbb{C}$ ;
✔ étudier des configurations liées aux polygones réguliers.