1

L’ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ est l’ensemble des nombres $\mathbf{z}$ écrits sous forme algébrique $\mathbf{z}=\mathbf{a}+\mathbf{i}\mathbf{b}$ où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont deux nombres réels et $\mathbf{i}$ est un nombre tel que ${\mathbf{i}}^2=-1$. Cela permet de :

✔ prolonger les propriétés sur les opérations de $\mathbb{R}$ dans un autre ensemble le contenant (comme par exemple l’associativité, la commutativité et la distributivité) ;
✔ déterminer les solutions d’équations insolubles dans $\mathbb{R}$ (comme, par exemple, $x^2=-4$).

2

Dans la forme algébrique, $\mathbf{a}$ est la partie réelle de $\mathbf{z}$ et $\mathbf{b}$ est sa partie imaginaire. Le conjugué de $\mathbf{z}$ est le nombre $\overline{\mathbf{z}}=\mathbf{a}-\mathbf{i}\mathbf{b}$. Cela permet de :

✔ déterminer l’inverse d’un nombre complexe non nul sous forme algébrique ;
✔ calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique.

3

Pour tous complexes $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ et pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, $(\mathbf{u}+\mathbf{v}{)}^{\mathbf{n}}=\sum _{\mathbf{k}=0}^{\mathbf{n}}\left(\begin{array}{l}\mathbf{n}\\ \mathbf{k}\end{array}\right){\mathbf{u}}^{\mathbf{n}-\mathbf{k}}{\mathbf{v}}^{\mathbf{k}}$ (formule du binôme de Newton). Cela permet de :

✔ développer une expression en utilisant les mêmes identités remarquables que dans $\mathbb{R}$ (celles apprises en seconde) ;
✔ généraliser les identités remarquables à des degrés supérieurs à $2$.

4

Un polynôme $\mathbf{P}$ de degré $\mathbf{n}$ admet au maximum $\mathbf{n}$ racines dans $\mathbb{C}$ et se factorise par $(\mathbf{z}-\mathbf{\alpha })$ lorsque $\mathbf{\alpha }$ est une racine de $\mathbf{P}$.
Cela permet de :

✔ factoriser un polynôme dont une racine est connue ;
✔ résoudre une équation de degré supérieur ou égal à $3$ à l’aide d’une factorisation ;
✔ résoudre une équation de degré deux dans un cas particulier : un polynôme $a{z}^2+bz+c$ (où $a$, $b$ et $c$ sont des réels tels que $a\ne 0$) admet pour racines $\frac{-b\pm \mathrm{i}\sqrt{|\Delta |}}{2a}$ lorsque $\Delta =b^2-4ac<0$.