1

L’inégalité de Markov affirme que si $\mathbf{X}$ est une variable aléatoire positive ou nulle, alors, pour tout réel $\mathbf{a}$ strictement positif, $\mathbf{P}(\mathbf{X}⩾\mathbf{a})⩽\frac{\mathbf{E}(\mathbf{X})}{\mathbf{a}}$. Cela permet de :

✔ majorer une probabilité qu’on ne sait pas forcément calculer ;
✔ estimer une proportion inconnue..

2

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev affirme que si $\mathbf{X}$ est une variable aléatoire, alors, pour tout réel $\mathbf{a}$ strictement positif, $\mathbf{P}(|\mathbf{X}-\mathbf{E}(\mathbf{X})|⩾\mathbf{a})⩽\frac{\mathbf{V}(\mathbf{X})}{{\mathbf{a}}^2}$. Cela permet de :

✔ majorer la probabilité que l’écart entre une variable aléatoire et son espérance soit supérieur ou égal à une quantité donnée (de façon grossière) ;
✔ déterminer l’écart maximal par rapport à l’espérance respectant une précision souhaitée.

3

L’inégalité de concentration affirme que pour tout réel $\mathbf{a}$ strictement positif, $\mathbf{P}\left(\left|{\mathbf{M}}_n-\mathbf{E}(\mathbf{X})\right|⩾\mathbf{a}\right)⩽\frac{\mathbf{V}(\mathbf{X})}{\mathbf{n}{\mathbf{a}}^2}$, où ${\mathbf{M}}_{\mathbf{n}}=\frac{{\mathbf{X}}_1+{\mathbf{X}}_2+\dots +{\mathbf{X}}_{\mathbf{n}}}{\mathbf{n}}$ représente la variable aléatoire moyenne.. Cela permet de :

✔ montrer qu’une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi converge vers la moyenne empirique ;
✔ déterminer, en fonction de la taille d’un échantillon, la probabilité de s’écarter de la moyenne d’un réel fixé.

4

La loi des grands nombres affirme que la variable aléatoire ${\mathbf{M}}_{\mathbf{n}}$ vérifie, pour tout réel a strictement positif, $\underset{\mathbf{n}\to +\infty }{\lim }\mathbf{P}\left(\left|{\mathbf{M}}_{\mathbf{n}}-\mathbf{E}(\mathbf{X})\right|⩾\mathbf{a}\right)=0$. Cela permet de :

✔ montrer que la moyenne empirique est un estimateur légitime d’une proportion inconnue ;
✔ estimer une probabilité ou une proportion à l’aide de simulations numériques.