1

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $\mathbf{p}$ est une expérience aléatoire à deux issues dont l’une, appelée « succès », a pour probabilité $\mathbf{p}$. Un schéma de Bernoulli de paramètres $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$ est la répétition de $\mathbf{n}$ épreuves de Bernoulli de paramètre $\mathbf{p}$ identiques et indépendantes. Cela permet de :

✔ modéliser de nombreuses expériences aléatoires dans un contexte de répétition d’expériences à deux issues ;
✔ faire des calculs de probabilité sans construire l’arbre pondéré correspondant à la situation : chaque chemin menant à $k$ succès correspond à une probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$ et il y a $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ chemins menant à $k$ succès.

2

Une variable aléatoire $\mathbf{X}$ qui compte le nombre de succès dont la probabilité est $\mathbf{p}$ dans un schéma de Bernoulli de $\mathbf{n}$ épreuves suit une loi binomiale de paramètres $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$. Cela permet de :

✔ calculer la probabilité d’obtenir $k$ succès : pour $0⩽k⩽n$, $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ ;
✔ déterminer un intervalle $\text{I}$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X}\in \mathrm{I})⩽\alpha$ (ou $\mathrm{P}(\mathrm{X}\in \mathrm{I})⩾1-\alpha$) avec $\alpha \in [0;1]$.

3

L’espérance et la variance d’une variable aléatoire $\mathrm{X}$ qui suit une loi binomiale de paramètres $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$ sont obtenues grâce aux formules $\mathbf{E}(\mathbf{X})=\mathbf{n}\mathbf{p}$ et $\mathbf{V}(\mathbf{X})=\mathbf{n}\mathbf{p}(1-\mathbf{p})$. Cela permet de :

✔ calculer l’espérance d’une variable aléatoire et d’en donner une interprétation en lien avec un contexte utilisant la loi binomiale ;
✔ calculer la variance d’une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ;
✔ calculer l’écart type de $\text{X}$ : $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{np(1-p)}$.