1

Toute fonction continue sur $\mathbf{I}$ admet des primitives sur $\mathbf{I}$. Cela permet de :

✔ justifier l’existence de primitives d’une fonction ;
✔ calculer l’intégrale d’une fonction par la formule ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=[\mathrm{F}(x){]}_a^b=\mathrm{F}(b)-\mathrm{F}(a)$, où $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$ ;
✔ calculer une aire définie par une intégrale lorsque $f$ est de signe constant.

2

La valeur moyenne d’une fonction $\mathbf{f}$ sur $[\mathbf{a};\mathbf{b}]$ est $\frac{1}{\mathbf{b}-\mathbf{a}}{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\text{d}\mathbf{x}$. De plus, si $\mathbf{f}⩽\mathbf{g}$ alors ${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}⩽{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{g}$. Cela permet de :

✔ calculer la valeur moyenne de $f$ ;
✔ estimer graphiquement la valeur moyenne de $f$ lorsque $f⩾0$ ;
✔ ✔minorer, majorer, encadrer une intégrale.

3

On a les propriétés suivantes :
${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{a}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\text{d}\mathbf{x}=0$,
${\int }_{\mathbf{b}}^{\mathbf{a}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}=-{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}(\{\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}$,
${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}(\mathbf{\lambda }\mathbf{f}+\mathbf{g})(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}=\mathbf{\lambda }{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}+{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{g}(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}$ (linéarité de l’intégrale) et
${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}={\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{c}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}+{\int }_{\mathbf{c}}^{\mathbf{b}}\mathbf{f}(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}$ (relation de Chasles). Cela permet de :

✔ simplifier des calculs en effectuant des opérations sur les intégrales.

4

Intégration par parties : si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont dérivables sur $\mathbf{I}$, ${\mathbf{u}}^{\prime }$ et ${\mathbf{v}}^{\prime }$ continues sur $\mathbf{I}$, alors :
${\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\left({\mathbf{u}}^{\prime }\mathbf{v}\right)(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}=[(\mathbf{u}\mathbf{v})(\mathbf{x}){]}_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}-{\int }_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\left(\mathbf{u}{\mathbf{v}}^{\prime }\right)(\mathbf{x})\mathbf{d}\mathbf{x}$. Cela permet de :

✔ calculer l’intégrale d’une fonction dont le calcul de primitives n’était pas possible directement.