$\mathbf{f}$ est une fonction définie et continue sur un intervalle $\mathbf{I}$ de $\mathbb{R}$ ; $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont des réels.

1

Une primitive de $\mathbf{f}$ sur $\mathbf{I}$ est une fonction $\mathbf{F}$ dérivable sur $\mathbf{I}$ telle que ${\mathbf{F}}^{\prime }=\mathbf{f}$. Cela permet de :

✔ démontrer qu’une fonction $\text{F}$ est une primitive sur $\text{I}$ d’une fonction $f$ donnée ;
✔ justifier qu’une fonction $f$ admet des primitives sur $\text{I}$ ;
✔ obtenir toutes les primitives de $f$ sur $\text{I}$ en ajoutant une constante réelle $k$ à une primitive $\text{F}$ de $f$ ;
✔ justifier qu’une équation différentielle du type $y^{\prime }=f$ admet des solutions sur $\text{I}$ ;
✔ résoudre des problèmes en déterminant des fonctions dont on connaît la dérivée.

2

Il existe des formules pour déterminer les primitives des fonctions de référence et des fonctions de la forme ${\mathbf{u}}^{\prime }\times ({\mathbf{v}}^{\prime }\circ \mathbf{u})$. Cela permet de :

✔ justifier qu’une fonction admet des primitives sur $\text{I}$ ;
✔ résoudre certaines équations différentielles $y^{\prime }=f$.

3

Les solutions de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants ${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{a}\mathbf{y}$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $\mathbf{x}\mapsto {\mathbf{C}\mathbf{e}}^{\mathbf{a}\mathbf{x}}$ où $\mathbf{C}$ est une constante réelle. Cela permet de :

✔ résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre $y^{\prime }=ay+b$ en ajoutant la constante $x\mapsto -\frac{b}{a}$ aux solutions de l’équation homogène associée ;
✔ résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre $y^{\prime }=ay+f$ en ajoutant une solution particulière $\phi$ aux solutions de l’équation homogène associée.