1

Étudier la parité ou la périodicité d’une fonction $\mathbf{f}$ définie sur $\mathbb{R}$ permet de restreindre son domaine d’étude de sorte que :

✔ si $f$ est paire ou impaire et périodique de période $\text{T}$, on peut alors l’étudier sur $\left[0;\frac{\mathrm{T}}{2}\right]$ ;
✔ si $f$ est paire et strictement monotone sur $[a;b]$, alors $f$ est de monotonie contraire sur $[-b;-a]$ ;
✔ si $f$ est impaire et strictement monotone sur $[a;b]$, alors $f$ est de même monotonie sur $[-b;-a]$ ;
✔ si $f$ est périodique de période $\text{T}$ et strictement monotone sur $[a;b]$, alors $f$ garde la même monotonie sur $[a+\mathrm{T};b+\mathrm{T}]$.

2

La fonction sinus est :

✔ définie sur $\mathbb{R}$, impaire et périodique de période $2\pi$. On peut donc restreindre son étude à $[0;\pi ]$ ;
✔ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\sin {)}^{\prime }=\cos$.

3

La fonction cosinus est :

✔ définie sur $\mathbb{R}$, paire et périodique de période $2\pi$. On peut donc restreindre son étude à $[0;\pi ]$ ;
✔ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(\cos {)}^{\prime }=-\sin$.

4

Pour résoudre une équation trigonométrique sur $\mathbb{R}$ ou une inéquation trigonométrique sur $[-\mathbf{\pi };\mathbf{\pi }]$ :

✔ on utilise :
  $\cos (x)=\cos (a)\iff x=a+2k\pi$ ou $x=-a+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ et
  $\sin (x)=\sin (a)\iff x=a+2k\pi$ ou $x=\pi -a+2k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$ ;
✔ on utilise le cercle trigonométrique dans le cas des inéquations.