1

Pour tout réel $\mathbf{a}>0$, le logarithme népérien de $\mathbf{a}$, noté $\ln (\mathbf{a})$, est l’unique solution réelle de l’équation $\mathbf{e}{}^{\mathbf{x}}=\mathbf{a}$. Cela permet de :

✔ créer la fonction réciproque à la fonction exponentielle : la fonction logarithme népérien ;
✔ avoir une écriture de la solution à l’équation ${\text{e}}^x=a$ et s’en servir dans la résolution de problème.

2

Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln (\mathbf{a}\mathbf{b})=\ln (\mathbf{a})+\ln (\mathbf{b})$, $\ln \left(\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}\right)=\ln (\mathbf{a})-\ln (\mathbf{b})$, $\ln (\sqrt{\mathbf{a}})=\frac{1}{2}\ln (\mathbf{a})$. Cela permet de :

✔ simplifier des calculs avec des logarithmes, en particulier avec des racines carrées ou des fractions ;
✔ résoudre des équations dans laquelle l’inconnue est en exposant.

3

La fonction dérivée de la fonction $\ln$ est la fonction inverse. De plus, si une fonction $\mathbf{u}$ est strictement positive et dérivable sur un intervalle $\text{I}$, alors $\ln (\mathbf{u})$ est dérivable sur $\mathbf{I}$ et $[\ln (\mathbf{u}){]}^{\prime }=\frac{{\mathbf{u}}^{\prime }}{\mathbf{u}}$. Cela permet d' :

✔ étudier les fonctions de la forme $\ln (u)$ ;
✔ étudier le signe des expressions de la forme $\ln (u)$.

4

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;+\infty [$. Cela permet de :

✔ résoudre des inéquations dans lesquelles l’inconnue est en exposant ;
✔ étudier le signe d’une expression dans laquelle il y a un logarithme ;
✔ étudier des variations de fonctions en utilisant les fonctions de référence.

5

La fonction logarithme népérien tend vers $-\infty$ en $0$ et vers $+\infty$ en $+\infty$. Cela permet de :

✔ résoudre et interpréter des problèmes concrets liés aux limites ;
✔ étudier les limites de fonctions composées avec $\ln$.