1

Soient $\mathbf{u}$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\mathrm{I}$ à valeurs dans $\mathrm{J}$ et $\mathbf{v}$ une fonction définie et dérivable sur $\mathrm{J}$. Alors la fonction $\mathbf{v}\circ \mathbf{u}$ est dérivable sur $\mathrm{I}$ et, pour tout ${\mathbf{x}}_0\in \mathrm{I}$, on a : $(\mathbf{v}\circ \mathbf{u}{)}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)$$={\mathbf{u}}^{\prime }({\mathbf{x}}_0)\times ({\mathbf{v}}^{\prime }\circ \mathbf{u})({\mathbf{x}}_0).$ Cela permet de :

✔ calculer la dérivée de fonctions composées ;
✔ étudier des fonctions composées.

2

Soit $\mathbf{f}$ une fonction dérivable sur un intervalle $\mathrm{I}$. $\mathbf{f}$ est convexe sur $\mathrm{I}$ si, et seulement si, ${\mathbf{f}}^{\prime }$ est croissante sur $\mathrm{I}$. Cela permet de :

✔ déterminer la convexité d’une fonction ;
✔ étudier la position d’une courbe par rapport à ses tangentes ou ses sécantes ;
✔ déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion.

3

Soit $\mathbf{f}$ une fonction dérivable sur un intervalle $\mathrm{I}$ dont la dérivée ${\mathbf{f}}^{\prime }$ est dérivable sur $\mathrm{I}$. $\mathbf{f}$ est convexe sur $\mathrm{I}$ si, et seulement si, ${\mathbf{f}}^{\prime \prime }$ est positive sur $\mathrm{I}$. Cela permet de :

✔ déterminer la convexité d’une fonction deux fois dérivable ;
✔ étudier la position d’une courbe par rapport à ses tangentes ou ses sécantes ;
✔ déterminer les abscisses des éventuels points d’inflexion.