1

$a$ désigne un nombre réel ou $+\infty$ ou $-\infty$. $f$ est une fonction définie au voisinage de $a$.
• Dire que $f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ (resp. $-\infty$) signifie que, quel que soit le réel $\text{A}$, $f(x)>\text{A}$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ (resp. $x$ est suffisamment grand). On définit de la même façon $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$, $\underset{\begin{array}{c}x\to -\infty \end{array}}{\lim }f(x)=+\infty$, $\underset{\begin{array}{c}x\to -\infty \end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to a\end{array}}{\lim }f(x)=-\infty$.
• Dire que $f$ a pour limite $\ell$, quand $x$ tend vers $a$ (resp. $+\infty$) signifie que, quel que soit$\epsilon >0$, $|f(x)-\ell |<\epsilon$ dès que $x$ est suffisamment proche de $a$ (resp. $x$ est suffisamment grand). On définit de la même façon $\underset{\begin{array}{c}x\to -\infty \end{array}}{\lim }f(x)=\ell$.
Cela permet de :

✔ étudier le comportement des fonctions quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ou vers un réel $a$ en lequel $f$ n’est pas définie ;
✔ déterminer l’éventuelle existence d’asymptotes à la courbe représentative d'une fonction.

2

Des théorèmes permettent de donner la limite d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de fonctions. Les formes indéterminées à connaître sont du type « $\infty -\infty$ », « $\frac{\infty }{\infty }$», « $0\times \infty$ » et « $\frac{0}{0}$ ». Cela permet de :

✔ déterminer directement la limite d’une fonction définie comme somme, produit ou quotient de fonctions dont on connaît la limite ;
✔ déterminer la limite d’une fonction après transformation de son écriture.

3

Si, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f(x)⩾g(x)$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }g(x)=+\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }f(x)=+\infty .$
Si, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $f(x)⩽g(x)$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }g(x)=-\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }f(x)=-\infty .$
Si, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $g(x)⩽f(x)⩽h(x)$ si $g$ et $h$ ont la même limite $\ell$ en $+\infty$, alors $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }f(x)=\ell .$
Cela permet de :

✔ déterminer la limite d’une fonction par comparaison avec une ou deux autres fonctions dont on connaît la ou les limites, notamment lorsque les opérations sur les limites ne suffisent pas.

4

On a $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }{\mathrm{e}}^x=+\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to -\infty \end{array}}{\lim }{\mathrm{e}}^x=0$. Pour tout $\mathbf{n}\in \mathbb{N}$, $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^n}=+\infty$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to -\infty \end{array}}{\lim }{\mathrm{e}}^x{x}^n=0$.
Cela permet de :

✔ compléter l’étude de la fonction exponentielle ;
✔déterminer la limite de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle.