1

Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires lorsqu’il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}$ ou $\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{u}$. Cela permet de :

✔ montrer que trois points sont alignés ;
✔ montrer que deux droites sont parallèles.

2

Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires, $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires lorsqu’il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que $\overrightarrow{w}=\lambda \overrightarrow{u}+\mu \overrightarrow{v}$. Cela permet de :

✔ décomposer $\overrightarrow{w}$ dans la base $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ ;
✔ montrer que quatre points sont coplanaires.

3

$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont linéairement indépendants lorsque $a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}+c\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\Rightarrow a=b=c=0$. Cela permet de :

✔ définir une base des vecteurs de l’espace.

4

Un repère de l’espace est la donnée d’un point origine $\text{O}$ et d’une base $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$. Cela permet de :

✔ déterminer les coordonnées d’un point ou d’un vecteur ;
✔ déterminer une représentation paramétrique de droite $\{\begin{array}{l}x=at+x_0\\ y=bt+y_0\\ z=ct+z_0\end{array}$ avec $t\in \mathbb{R}$. Le vecteur $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}a\\ b\\ c\end{array}\right)$ est un vecteur directeur de cette droite et celle-ci contient $\text{A}(x_0;y_0;z_0)$.

5

On peut énoncer des théorèmes sur le parallélisme de droites et de plans. Cela permet de :

✔ déterminer des intersections de plans, de droites, d’une droite et d’un plan ;
✔ montrer que des plans ou des droites sont parallèles.