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Développement et factorisation
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Les équations produit
Formules et Théorèmes
À savoir refaire
À savoir refaire

  • Factoriser en utilisant une identité remarquable

    Factorise l'expression E=x2+8x+16E=x^2+8x+16.
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      Avoir le réflexe « identité remarquable »

      • Quand on te demande de factoriser une expression, tu dois tout de suite avoir le réflexe d’essayer de reconnaître une identité remarquable.
      • Or d’après le cours, tu sais que dans le développement d’une identité remarquable tu as au moins deux carrés.
      • Ici, tu remarques que tu as :
        • x2x^2 qui est donc le carré de xx ;
        • 1616 dont tu sais qu’il est égal au carré de 44.
      Ça tombe bien, ça veut dire qu'on peut utiliser une identité remarquable !
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      Reconnaître quelle identité remarquable utiliser

      1. On a reconnu les carrés de xx et de 44.
      2. Que faire de 8x8x ? On voit qu’on peut justement l’exprimer en fonction de xx et de 44 puisque 8x=2×4x8x= 2 \times 4x.
      3. Par ailleurs, tu remarques que tous les signes de l’expression sont positifs.
      On peut donc utiliser l’identité remarquable (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2=a^2+b^2+2ab avec :
      • a=xa=x
      • b=4b=4
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      Appliquer l’identité remarquable

      On applique l’identité remarquable reconnue à l'étape 2 à EE :
      • E=x2+8x+16=x2+42+2×4x=(x+4)2E=x^2+8x+16=x^2+4^2+2\times 4x=(x+4)^2

  • Résoudre un problème en utilisant des équations

    Une classe de 3e organise une sortie au musée du Louvre ! Le professeur d’Histoire demande aux élèves de prévoir un coût de transport de 66 € pour chacun d’eux. Finalement 99 élèves se désistent. Le professeur demande donc finalement 99 € à chaque élève participant pour pouvoir couvrir le coût du transport initialement prévu.
    1. Combien d’élèves y a-t-il dans cette classe de 3e ?
    2. Combien coûte en tout le transport ?
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      Repérer les inconnues dans l’énoncé

      Ici, les deux questions indiquent clairement quelles sont les inconnues. Ce sont :
      1. le nombre d’élèves de la classe de 3e ;
      2. le coût total du transport.
      On pose donc :
      • xx = le nombre d’élèves de la classe ;
      • cc = le coût total du transport.
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      Reformuler l’énoncé sous la forme d’expressions mathématiques

      Le début de l’énoncé dit :
      • « Le professeur d’Histoire demande aux élèves de prévoir un coût de transport de 66 € pour chacun d’eux ».
      • On peut donc écrire c=6xc = 6x.
      La deuxième partie de l’énoncé dit :
      • « Finalement 99 élèves se désistent. Le professeur demande donc finalement 99 € à chaque élève participant pour pouvoir couvrir le coût du transport initialement prévu. »
      • Puisque 99 élèves se désistent, le nombre final d’élèves participant peut s’écrire x−9x-9.
      • Le coût total du transport ne change pas.
      • On peut donc écrire c=(x−9)×9c=(x-9)\times 9.
      On a donc 6x=9(x−9)6x=9(x-9). Il n’y a que des xx, on peut résoudre cette équation. Allons-y !
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      Résoudre l’équation

      6x=9(x−9)6x=9(x - 9)
      • donc 6x=9x−816x = 9x - 81 (on a développé) ;
      • donc 6x−9x=9x−81−9x=−816x - 9x =9x - 81 - 9x = -81 (on a retiré 9x9x des deux côtés) ;
      • donc −3x=−81-3x = -81 ;
      • donc x=−81−3=813=27x = \frac{-81}{-3} = \frac{81}{3} =27 (on a divisé par −3-3 des deux côtés).
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      Vérifier ton résultat et conclure

      • 6×27=1626 \times 27 = 162
      • 9(27−9)=9×18=1629(27 - 9) = 9 \times 18 = 162
      2727 est donc bien solution de l’équation.

      On peut donc répondre à la question 1.
      • Il y a 2727 élèves dans cette classe de 3e.
      On peut également répondre à la question 2.
      • Le montant total des frais de transport est de 162162 €.
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