Théorème de Thalès

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k > 0$ :

• les longueurs sont multipliées par $k$ ;
• les angles sont conservés ;
• la perpendicularité et le parallélisme sont conservés.

Consigne :
Le losange $EBGF$ est une réduction du losange $ABCD$. On sait que $AB = 14 \ cm$ et $BE = 7 \ cm$.
Quel est le rapport de réduction ?

Correction :
Le losange $EBGF$ est une réduction du losange $ABCD$, donc leurs longueurs sont proportionnelles.
On note $k$ le coefficient de proportionnalité :

• $k = \frac{EB}{AB}=\frac{7}{14}=0,5$

Le losange $EBGF$ est une réduction de rapport $0,5$ du losange $ABCD$.

Dans un agrandissement ou une réduction de rapport $k>0$ :

• la longueur d’un segment est multipliée par $k$ ;
• l’aire d’une surface est multipliée par $k^2$ ;
• le volume d’un solide est multiplié par $k^3$.

Consigne :
Soit une pyramide $P$ de hauteur $4 \ cm$ et de volume $20 \ cm^3$. Par une réduction, on obtient une pyramide $P'$ de hauteur $3 \ cm$.
Quel est son volume ?

Correction :

• Calcul du rapport de réduction :
• $k=\frac{\text{hauteur de P'}}{\text{hauteur de P}} = \frac{3}{4}=0,75$
• Calcul du volume de $P'$ :
• $20 \times k^3 = 20 \times 0,75^3 = 8,4375$

La pyramide $P'$ a un volume de $8,44 \ cm^3$.