Théorème de Thalès

Théorème

Théorème de Thalès

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$(BM)$ et $(CN)$ sont deux droites sécantes en $A$. Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles alors :

• $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$

Remarque

Exemple

Consigne : Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ? Correction : a. $\frac{IA}{IJ}=\frac{IB}{IK}=\frac{AB}{JK}$ b. $\frac{GF}{GN}=\frac{GE}{GM}=\frac{EF}{MN}$

Règle

Utilisation du théorème de Thalès

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Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit d'abord les quotiens égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

Exemple

Consigne : Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont sécantes en $A$. Les droites $(BD)$ et $(EC)$ sont parallèles. Calculez $AE$ et $BD$. (Les unités sont en $cm$.) Correction : On identifie la configuration de Thalès : les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont sécantes en $A$ ; les droites $(BD)$ et $(EC)$ sont parallèles. On applique le théorème :  d’après le théorème de Thalès, $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{EC}$ On remplace par les longueurs connues : $\frac{2,8}{AE}=\frac{3,5}{10,5}=\frac{BD}{15}$ On écrit l’égalité des produits en croix : $3,5\times AE=10,5\times 2,8$ d’où $AE=\frac{10,5\times 2,8}{3,5}=8,4$. Donc $[AE]$ mesure $8,4cm$. De même, $10,5\times BD=3,5\times 15$ donc $BD=\frac{15\times 3,5}{10,5}=5$. Donc $[BD]$ mesure $5cm$.