CHAPITRE 11
Théorème de Thalès
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Chapitre 11 - Théorème de Thalès - fiche de cours
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1
Énoncé du théorème de Thalès
2
Réciproque du théorème de Thalès
3
Agrandissement et réduction
2
Réciproque du théorème de Thalès
A
Énoncé de la réciproque
Théorème
Réciproque du théorème de Thalès
Les points
M
M
M
,
A
A
A
,
B
B
B
et
N
N
N
,
A
A
A
,
C
C
C
sont alignés dans le même ordre.
Si
A
M
A
B
=
A
N
A
C
\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}
A
B
A
M
=
A
C
A
N
alors les droites
(
M
N
)
(MN)
(
M
N
)
et
(
B
C
)
(BC)
(
B
C
)
sont parallèles.
B
Utilisation de la réciproque
Règle
Utilisation de la réciproque du théorème de Thalès
Les droites
(
M
N
)
(MN)
(
M
N
)
et
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
sont-elles parallèles ?
On étudie la configuration :
les points
O
O
O
,
M
M
M
,
A
A
A
et
O
O
O
,
N
N
N
,
B
B
B
sont alignés dans le même ordre.
On calcule séparément les quotients :
O
M
O
A
\frac{OM}{OA}
O
A
O
M
et
O
N
O
B
\frac{ON}{OB}
O
B
O
N
On compare :
si
O
M
O
A
=
O
N
O
B
\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB}
O
A
O
M
=
O
B
O
N
, on utilise la réciproque du théorème de Thalès et on conclut que les droites
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
et
(
M
N
)
(MN)
(
M
N
)
sont parallèles ;
si
O
M
O
A
≠
O
N
O
B
\frac{OM}{OA} \ne \frac{ON}{OB}
O
A
O
M
≠
O
B
O
N
, l’égalité de Thalès n’est pas vérifiée. On conclut que les droites
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
et
(
M
N
)
(MN)
(
M
N
)
ne sont pas parallèles.
Exemple
Consigne :
Les droites
(
A
N
)
(AN)
(
A
N
)
et
(
B
M
)
(BM)
(
B
M
)
sont sécantes en
I
I
I
. On a
I
A
=
6
c
m
IA = 6 \ cm
I
A
=
6
c
m
,
I
B
=
8
c
m
IB = 8 \ cm
I
B
=
8
c
m
,
I
M
=
6
c
m
IM = 6 \ cm
I
M
=
6
c
m
et
I
N
=
4
,
5
c
m
IN = 4,5 \ cm
I
N
=
4
,
5
c
m
.
Les droites
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
et
(
M
N
)
(MN)
(
M
N
)
sont-elles parallèles ?
Correction :
Les points
A
A
A
,
I
I
I
,
N
N
N
et
B
B
B
,
I
I
I
,
M
M
M
sont alignés dans le même ordre.
I
N
I
A
=
4
,
5
6
=
3
4
\frac{IN}{IA} = \frac{4,5}{6} = \frac{3}{4}
I
A
I
N
=
6
4
,
5
=
4
3
et
I
M
I
B
=
6
8
=
3
4
\frac{IM}{IB} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
I
B
I
M
=
8
6
=
4
3
Donc
I
N
I
A
=
I
M
I
B
\frac{IN}{IA} = \frac{IM}{IB}
I
A
I
N
=
I
B
I
M
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites
(
A
B
)
(AB)
(
A
B
)
et
(
M
N
)
(MN)
(
M
N
)
sont parallèles.
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