CHAPITRE 11

Théorème de Thalès

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1
ÉNONCÉ DU THÉORÈME DE THALÈS
2
RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE THALÈS
3
AGRANDISSEMENT ET RÉDUCTION

Énoncé du théorème

Théorème

Théorème de Thalès

➔
$(B M)$ et $(C N)$ sont deux droites sécantes en $A$ . Si les droites $(B C)$ et $(M N)$ sont parallèles alors :

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

Remarque

Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité :

$k = \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de l’autre de rapport $k$ .

Exemple

Consigne :
Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles.
Quels sont les quotients égaux ?

Correction :
a.

\frac{I A}{I J} = \frac{I B}{I K} = \frac{A B}{J K}

\frac{G F}{G N} = \frac{G E}{G M} = \frac{E F}{M N}

Utilisation du théorème

Règle

Utilisation du théorème de Thalès

➔
Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit d'abord les quotiens égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

Exemple

Consigne :
Les droites

(B C)

(D E)

sont sécantes en

A

. Les droites

(B D)

(E C)

sont parallèles.
Calculez

A E

B D

. (Les unités sont en

c m

.)

Correction :

On identifie la configuration de Thalès :

les droites $(B C)$ et $(D E)$ sont sécantes en $A$ ;
les droites $(B D)$ et $(E C)$ sont parallèles.

On applique le théorème :

d’après le théorème de Thalès, $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C} = \frac{B D}{E C}$

On remplace par les longueurs connues :

$\frac{2 , 8}{A E} = \frac{3 , 5}{1 0 , 5} = \frac{B D}{1 5}$

On écrit l’égalité des produits en croix :

$3, 5 \times A E = 10, 5 \times 2, 8$ d’où $A E = \frac{1 0 , 5 \times 2 , 8}{3 , 5} = 8, 4$ . Donc $[A E]$ mesure $8, 4 c m$ .
De même, $10, 5 \times B D = 3, 5 \times 15$ donc $B D = \frac{1 5 \times 3 , 5}{1 0 , 5} = 5$ . Donc $[B D]$ mesure $5 c m$ .

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Théorème de Thalès

Énoncé du théorème

Théorème

Théorème de Thalès

➔ (BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors : ABAM​=ACAN​=BCMN​

Remarque

Exemple

Utilisation du théorème

Règle

Utilisation du théorème de Thalès

➔ Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit d'abord les quotiens égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

Exemple

➔
$(B M)$ et $(C N)$ sont deux droites sécantes en $A$ . Si les droites $(B C)$ et $(M N)$ sont parallèles alors :

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$

➔
Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit d'abord les quotiens égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.