Théorème de Thalès

$(BM)$ et $(CN)$ sont deux droites sécantes en $A$. Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles alors :

• $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Consigne :
Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles.
Quels sont les quotients égaux ?

Correction :
a. $\frac{IA}{IJ}=\frac{IB}{IK}=\frac{AB}{JK}$

b. $\frac{GF}{GN}=\frac{GE}{GM}=\frac{EF}{MN}$

Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit d'abord les quotiens égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

Consigne :
Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont sécantes en $A$. Les droites $(BD)$ et $(EC)$ sont parallèles.
Calculez $AE$ et $BD$. (Les unités sont en $cm$.)

Correction :

• On identifie la configuration de Thalès :
• les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont sécantes en $A$ ;
• les droites $(BD)$ et $(EC)$ sont parallèles.
• On applique le théorème : 
• d’après le théorème de Thalès, $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{EC}$
• On remplace par les longueurs connues :
• $\frac{2,8}{AE}=\frac{3,5}{10,5}=\frac{BD}{15}$
• On écrit l’égalité des produits en croix :
• $3,5 \times AE = 10,5 \times 2,8$ d’où $AE=\frac{10,5 \times 2,8}{3,5} = 8,4$. Donc $[AE]$ mesure $8,4 \ cm$.
• De même, $10,5 \times BD = 3,5 \times 15$ donc $BD = \frac{15 \times 3,5}{10,5} = 5$. Donc $[BD]$ mesure $5 \ cm$.