(BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors :
ABAM=ACAN=BCMN
Remarque
Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de proportionnalité :
k=ABAM=ACAN=BCMN
Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de l’autre de rapport k.
Exemple
Consigne : Dans les deux configurations suivantes, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?
Correction : a. IJIA=IKIB=JKAB
b. GNGF=GMGE=MNEF
BUtilisation du théorème
Règle
Utilisation du théorème de Thalès
Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit d'abord les quotiens égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.
Exemple
Consigne : Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A. Les droites (BD) et (EC) sont parallèles. Calculez AE et BD. (Les unités sont en cm.)
Correction :
On identifie la configuration de Thalès :
les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A ;
les droites (BD) et (EC) sont parallèles.
On applique le théorème :
d’après le théorème de Thalès, AEAD=ACAB=ECBD
On remplace par les longueurs connues :
AE2,8=10,53,5=15BD
On écrit l’égalité des produits en croix :
3,5×AE=10,5×2,8 d’où AE=3,510,5×2,8=8,4. Donc [AE] mesure 8,4cm.
De même, 10,5×BD=3,5×15 donc BD=10,515×3,5=5. Donc [BD] mesure 5cm.