CHAPITRE 11

Parallélogrammes

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1
ANGLES ET PARALLÉLISME
2
PARALLÉLOGRAMMES QUELCONQUES
3
PARALLÉLOGRAMMES PARTICULIERS

Parallélisme

Propriété

Parallélismes

➔

Si $d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles et coupées par $d$ , alors deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure.

Si deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure, alors $d_{1}$ et $d_{2}$ sont parallèles.

Si deux angles alternes-internes ou correspondants n’ont pas la même mesure, alors $d_{1}$ et $d_{2}$ ne sont pas parallèles.

Exemple

Consigne :
On considère la figure suivante dans laquelle les droites

(A B)

(E D)

sont parallèles.
Quelle est la mesure de l’angle

B C D

?

Correction :
Les angles

E D F

A C D

sont correspondants.
Comme les droites

(A B)

(E D)

sont parallèles,

E D F = A C D = 4 5^{\circ}

.
Or les angles

A C D

B C D

sont supplémentaires, donc

A C D + B C D = 18 0^{\circ}

.
Donc

B C D = 13 5^{\circ}

Droites parallèles

Rappel

Droite

➔

Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes.

Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.

Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points communs.

Couples d’angles

Définition

Angle adjacent

➔
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont de part et d’autre de ce côté en commun

Définition

Angle supplémentaire

➔
Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut $18 0^{\circ}$ . On dit qu’ils sont supplémentaires.

Définition

Angle complémentaire

➔
Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut $9 0^{\circ}$ . On dit qu’ils sont complémentaires.

Définition

Angles opposés

➔
Soit deux droites $d$ et $d^{'}$ sécantes en un point $A$ :

les angles $A_{1}$ et $A_{3}$ sont dits opposés par le sommet et $A_{1} = A_{3}$ ;

de même, les angles $A_{2}$ et $A_{4}$ sont opposés par le sommet et $A_{2} = A_{4}$ .

Définition

Angles alternes-internes et angles correspondants

➔
On considère deux droites $d_{1}$ et $d_{2}$ coupées par une sécante $d$ . Il existe plusieurs couples d’angles remarquables, dont :

les angles alternes internes ;

les angles correspondants.

Exemple

Consigne :
Dans la figure suivante, quelle est la nature des angles ?

$A B C$ et $D B E$
$D B E$ et $B E F$
$D B E$ et $G E H$

Correction :

Les angles $A B C$ et $D B E$ sont opposés par le sommet.
Les angles $D B E$ et $B E F$ sont de part et d’autre de la sécante et à l’intérieur des deux droites. Ils sont donc alternes-internes.
Les angles $D B E$ et $G E H$ sont du même côté de la sécante. $D B E$ est à l’intérieur mais $G E H$ à l’extérieur. Ils sont donc correspondants.

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Exemple

Droites parallèles

Rappel

Droite

➔ Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes. Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles. Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points communs.

Couples d’angles

Définition

Angle adjacent

➔ Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont de part et d’autre de ce côté en commun

Définition

Angle supplémentaire

➔ Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 180∘. On dit qu’ils sont supplémentaires.

Définition

Angle complémentaire

➔ Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 90∘. On dit qu’ils sont complémentaires.

Définition

Angles opposés

➔ Soit deux droites d et d′ sécantes en un point A : les angles A1​​ et A3​​ sont dits opposés par le sommet et A1​​=A3​​ ; de même, les angles A2​​ et A4​​ sont opposés par le sommet et A2​​=A4​​.

Définition

Angles alternes-internes et angles correspondants

➔ On considère deux droites d1​ et d2​ coupées par une sécante d. Il existe plusieurs couples d’angles remarquables, dont : les angles alternes internes ; les angles correspondants.

Exemple

➔

Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes.

Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.

Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points communs.

➔
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont de part et d’autre de ce côté en commun

➔
Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut $18 0^{\circ}$ . On dit qu’ils sont supplémentaires.

➔
Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut $9 0^{\circ}$ . On dit qu’ils sont complémentaires.

➔
Soit deux droites $d$ et $d^{'}$ sécantes en un point $A$ :

les angles $A_{1}$ et $A_{3}$ sont dits opposés par le sommet et $A_{1} = A_{3}$ ;

de même, les angles $A_{2}$ et $A_{4}$ sont opposés par le sommet et $A_{2} = A_{4}$ .

➔
On considère deux droites $d_{1}$ et $d_{2}$ coupées par une sécante $d$ . Il existe plusieurs couples d’angles remarquables, dont :

les angles alternes internes ;

les angles correspondants.