CHAPITRE 11

Parallélogrammes

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Angles et parallélisme

Parallélogrammes quelconques

Parallélogrammes particuliers

Angles et parallélisme

- ADroites parallèles
  - Rappel
    Droite
    
    Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes.
    
    Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles.
    
    Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points communs.
- BCouples d’angles
  - Définition
    Angle adjacent
    Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont de part et d’autre de ce côté en commun
  - Définition
    Angle supplémentaire
    Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut $180^{\circ}$ . On dit qu’ils sont supplémentaires.
  - Définition
    Angle complémentaire
    Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut $90^{\circ}$ . On dit qu’ils sont complémentaires.
  - Définition
    Angles opposés
    Soit deux droites $d$ et $d'$ sécantes en un point $A$ :
    
    les angles $\widehat{A_1}$ et $\widehat{A_3}$ sont dits opposés par le sommet et $\widehat{A_1} = \widehat{A_3}$ ;
    
    de même, les angles $\widehat{A_2}$ et $\widehat{A_4}$ sont opposés par le sommet et $\widehat{A_2} = \widehat{A_4}$ .
  - Définition
    Angles alternes-internes et angles correspondants
    On considère deux droites $d_1$ et $d_2$ coupées par une sécante $d$ . Il existe plusieurs couples d’angles remarquables, dont :
    
    les angles alternes internes ;
    
    les angles correspondants.
  - Exemple
    Consigne :
    Dans la figure suivante, quelle est la nature des angles ?
    
    $\widehat{ABC}$ et $\widehat{DBE}$
    
    $\widehat{DBE}$ et $\widehat{BEF}$
    
    $\widehat{DBE}$ et $\widehat{GEH}$
    
    Correction :
    
    Les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{DBE}$ sont opposés par le sommet.
    
    Les angles $\widehat{DBE}$ et $\widehat{BEF}$ sont de part et d’autre de la sécante et à l’intérieur des deux droites. Ils sont donc alternes-internes.
    
    Les angles $\widehat{DBE}$ et $\widehat{GEH}$ sont du même côté de la sécante. $\widehat{DBE}$ est à l’intérieur mais $\widehat{GEH}$ à l’extérieur. Ils sont donc correspondants.
- CParallélisme
  - Propriété
    Parallélismes
    
    Si $d_1$ et $d_2$ sont parallèles et coupées par $d$ , alors deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure.
    
    Si deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure, alors $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.
    
    Si deux angles alternes-internes ou correspondants n’ont pas la même mesure, alors $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
  - Exemple
    Consigne :
    On considère la figure suivante dans laquelle les droites $(AB)$ et $(ED)$ sont parallèles.
    Quelle est la mesure de l’angle $\widehat{BCD}$ ?
    
    Correction :
    Les angles $\widehat{EDF}$ et $\widehat{ACD}$ sont correspondants.
    Comme les droites $(AB)$ et $(ED)$ sont parallèles, $\widehat{EDF} = \widehat{ACD} = 45^\circ$ .
    Or les angles $\widehat{ACD}$ et $\widehat{BCD}$ sont supplémentaires, donc $\widehat{ACD} + \widehat{BCD} = 180^\circ$ .
    Donc $\widehat{BCD} = 135^\circ$ .