On peut modéliser une expérience aléatoire ayant un nombre fini d’issues à l’aide d’un arbre pondéré. Les différentes éventualités de l'expérience sont notées aux extrémités des branches et on note la probabilité de cette éventualité au dessus de la branche qui y mène.

L’utilisation d’arbres pondérés est particulièrement recommandée pour modéliser la répétition d’expériences identiques simples.

On tire une boule de façon aléatoire dans une urne contenant une boule jaune, une rouge et une bleue.
On peut représenter cette expérience aléatoire avec l’arbre suivant :

Deux expériences sont dites indépendantes si le résultat de l’une n’influence pas le résultat de l’autre.

• On lance deux dés identiques à $6$ faces. On peut considérer chacun des lancers de dé comme une expérience en soit. Puisque le résultat d’un dé n’influence pas le résultat du second : les deux expériences sont indépendantes.

• Maintenant, on choisit de façon aléatoire le dé que l’on va lancer parmi une collection de dés ayant un nombre de faces différent. On lance ensuite ce dé. La première expérience (le choix du dé) influence de manière directe le résultat possible de la seconde expérience (le lancer de dé). Les deux expériences ne sont pas indépendantes.

On peut représenter la répétition d’expériences indépendantes par un arbre pondéré complexe.

On dispose d’un arbre pondéré représentant la répétition d’expériences indépendantes. La probabilité d’une liste de résultat est le produit des probabilités sur les branches menant à ces résultats.

On tire consécutivement deux boules de façon aléatoire dans une urne contenant une boule jaune, une rouge et une bleue.
On peut représenter cette expérience aléatoire par l’arbre ci-contre.
Ex. : la probabilité de tirer une boule jaune puis une boule bleue est donc de $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.

Soit $p$ un réel tel que $p\in [0,1]$.
Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience aléatoire ne possédant que deux issues possibles :

• Succès, noté $A$, avec probabilité $p$ ;
• Échec, noté $\overline{A}$, avec probabilité $1-p$.

Le lancer d’une pièce équilibrée est une épreuve de Bernoulli de paramètre $p=\dfrac{1}{2}$.

Soit un réel $p\in [0,1]$.
Soit $X$ une variable aléatoire.
On dit que $X$ suit une loi de Bernouillli si et seulement si :

• $X(\Omega) =\{0,1\}$ ;
• $P(X = 1) = p$ et $P(X = 0) = 1 - p$.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi de Bernoulli de paramètre $p$.
L’espérance $E(X)$ de $X$ est : $E(X) = p$.

Soit un réel $p\in [0,1]$ et $n$ un entier strictement positif.
Un schéma de Bernoulli de paramètres $(n,p)$ est une expérience aléatoire obtenue en répétant $n$-fois une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

Notons $A$ l'évènement succès d’une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.
L’ensemble des éventualités d’un schéma de Bernoulli de paramètre $(n,p)$ est l’ensemble des n-uplets composés de $A$ et $\overline{A}$.

On peut représenter un schéma de Bernoulli par un arbre de probabilité $2^n$ branches.

Soient un réel $p\in [0,1]$ et $n$ un entier naturel non nul.
Soit $X$ une variable aléatoire. On dit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $(n,p)$ si $X$ compte le nombre de succès du schéma de Bernoulli de paramètres $(n,p)$.

On considère un archer professionnel.
Lors d’un de ses entrainements, il tire exactement $150$ flèches.
Après une étude statistique, on remarque que chaque flèche de cet archer a une probabilité de $0\text{,}70$ d'atteindre la région centrale de la cible.
Le nombre de flèche atteignant le centre de la cible suit donc une loi binomiale de paramètre $(150,0\text{,}70)$.

Soient $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
Le coefficient binomial ${{n}\choose{k}}$, aussi noté $C_n^k$, se lit « k parmi n ». Il correspond au nombre de façons de choisir $k$ éléments dans un ensemble de $n$ éléments.

Le coefficient binomial ${{n}\choose{k}}$ peut être calculé explicitement avec la formule suivante :

• ${{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

où « ! » est le symbole des factoriels. On rappelle que : $n!$ se lit « n factorielle » et vaut $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times … \times 2 \times 1$.

Soient $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier naturel inférieur ou égal à $n$.

• ${{n}\choose{0}} = {{n}\choose{n}} = 1$ ;
• ${{n}\choose{1}}= {{n}\choose{n-1} } = n$ ;
• ${{n}\choose{k}} = {{n}\choose{n-k}}$.

On dispose de $4$ balles que l’on numérote de $1$ à $4$.
On veut en choisir $2$ parmi les $4$. On dispose alors de ${{4}\choose{2}}$ possibilités.
Dans ce cas simple on peut les lister :

Balles $1$ et $2$	Balles $2$ et $3$
Balles $1$ et $3$	Balles $2$ et $4$
Balles $1$ et $4$	Balles $3$ et $4$

Il y a donc $6$ possibilités, d'où ${{4}\choose{2}}= 6$.

Soient un réel $p\in [0,1]$, $n$ un entier naturel non nul et $k$ un entier naturel inférieur à $n$.
Soit $X$ une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres $(n,p)$, alors :

• $P(X = k ) = {{n}\choose{k}} p^k (1-p)^{n-k}$.

Reprenons l’exemple de l’archer dont le nombre de flèche atteignant le centre de la cible durant un entrainement obéit à une loi binomiale de paramètres $(150,0\text{,}70)$.
On peut donc calculer explicitement la probabilité que $100$ de ces flèches atteignent la région centrale de la cible :

• $P(X = 100 ) = {{150}\choose{100}} 0\text{,}70^{100} (1-0\text{,}70)^{150-100} =0\text{,}047$.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres $(n,p)$, alors l’espérance $E(X)$ de $X$ est :

• $E(X) = np$.