Soit $\Omega$ l’ensemble des éventualités (résultats)  possibles d’une expérience aléatoire.
On appelle $\Omega$ l’univers de l’expérience.

On appelle évènement toute sous partie de $\Omega$.

Une éventualité est un résultat possible de l’expérience.

$\Omega$ est une partie de $\Omega$, c’est l’évènement certain.
$\varnothing$ est une partie de $\Omega$, c’est l'évènement impossible.

Considérons une urne contenant deux boules : une noire et une blanche.
On tire au hasard une boule et on note sa couleur, N pour noire et B pour blanc.

• L’univers est $\Omega =\{ N, B \}$.
• L’ensemble des évènements est $\{\varnothing , \{N\} , \{B\}, \{N,B\} \}$.

Soit l’univers $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$.
Soit $p$ une fonction qui à chaque élément de $\Omega$ associe un nombre réel $p(\omega_i)=p_i$ tel que :

• $0\leq p_i \leq 1$
• $p_1 + p_2 + … + p_n = 1$

$p$ est une loi de probabilité sur $\Omega$.

Soit $E = \{e_1,e_2,...,e_n \}$ un évènement de $\Omega$.
La probabilité de $E$ est la somme des probabilités des éléments qui le compose :

• $p(E) = p(e_{1}) + p(e_{2}) + … + p(e_{n})$.

On a donc :

• p($\Omega$) = 1 et on pose $p(\varnothing)=0$.

Soit $A$ un évènement de probabilité $P(A)$. L'évènement « $A$ ne se réalise pas » est l'évènement contraire de $A$ et sa probabilité est $1-P(A)$.

On considère un dé équilibré.
Sa loi de probabilité se résume dans le tableau suivant :

Numéro de la face $x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
Probabilité $p_i$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

L'évènement $A$ = « la face supérieure est paire » = $\{ 2,4,6\}$ a comme probabilité $p(A) = p(2)+p(4)+p(6) = \frac{1}{6} +\frac{1}{6} +\frac{1}{6} = \frac{1}{2}$.

On appelle loi uniforme la loi de probabilité telle que : $p_1=p_2 =...=p_n = \frac{1}{n}$.
C’est le cas d’une expérience équilibrée (ex. : le lancer d’un dé équilibré).

Soit un univers  $\Omega$.
Une variable aléatoire est une fonction qui, à chaque évènement de $\Omega$, associe un nombre.
L’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire $X$ est noté $X(\Omega)$.

Une variable aléatoire est dite discrète lorsque l’univers $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$ est fini.
Dans ce cas, l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire est :

• $X(\Omega) = \{X(\omega_1),X(\omega_2)...,X(\omega_n)\}$.

Adam joue à un jeu de dés. Il lance un dé :

• si le résultat du tirage est de $3$ ou plus, il gagne $1$ point, sinon il en perd $2$.

Ici, l’univers est l’ensemble des résultats possibles du lancé de dé :

• $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$.

On peut définir une variable aléatoire $X$ comme le gain d’Adam à chaque lancer et on a $X(\Omega)=\{-2,1\}$.

Soit un univers fini $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$ et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$.
La loi de probabilité $P$ de $X$ associe à chaque évènement $x_i$ de $X$ la probabilité de cette éventualité $P(X=x_i)$.

$\{X=x_i\}$ est l’ensemble des éventualités pour lesquelles la variable aléatoire $X$ prend la valeur $x_i$.

Si l’on réalise un grand nombre de tirage d’une variable aléatoire $X$, alors la fréquence d’apparition de chaque résultat $x_i$ se rapproche de de la probabilité $P(X=x_i)$.

Soit un univers fini $\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}$ et $X$ une variable aléatoire sur  $\Omega$ munie d’une loi de probabilité $P$.
L'espérance de $X$ est le nombre réel :

• $E = P(X=x_1)\times x_1 + P(X=x_2) \times x_2 + …+ P(X=x_n)\times x_n= \sum_{i=1}^{i=n} P(X=x_i)x_i$.

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire $X$ peut être interprétée comme le résultat moyen de $X$ pour un très grand nombre de tirages.

Considérons une urne contenant $10$ boules : $1$ rouge, $4$ bleues et $5$ jaunes. Adam tire une boule au hasard. Si la boule est rouge il gagne $10$ points, si elle est bleue $4$ points et si elle est jaune il ne gagne qu’un point.
L’univers est alors composé de $3$ éventualités (les couleurs possibles de la boule sélectionnée) : rouge ($R$), bleue ($B$) ou jaune($J$) ; $\Omega = \{R,B,J\}$.
On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à la couleur de la boule piochée le nombre de points d’Adam. On a donc : $X(\Omega) = \{10,4,1\}$.
La loi de $X$ est :

• $P(X=10) = p(piocher\ une\ boule\ rouge) = \frac{1}{10}$ ;
• $P(X=4) = p(piocher\ une\ boule\ bleue) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10}$ ;
• $P(X=1) = p(piocher\ une\ boule\ jaune) = \frac{5}{10}$.

L’espérance de $X$ est donc :

• $E = P(X=10)\times 10 + P(X=4)\times 4 + P(X=1)\times 1 = \frac{1}{10}\times 10 + \frac{4}{10} \times 4 + \frac{5}{10}\times 1 = \frac{31}{10}$.