Estelle veut jouer à la roulette au casino. Une roulette de casino est composée de 37 cases numérotées de 0 à 36. Les cases à numéro pair sont rouges et les cases à numéro impair sont noires, à l'exception de la case 0 qui est verte. Dans ce casino, on peut soit miser sur un numéro de 1 à 36, soit sur une couleur (rouge ou noire). Si l’on mise sur un numéro et que la bille s'arrête sur ce numéro, on récupère 35 fois la mise, sinon la mise est perdue. Dans le cas où l’on mise sur une couleur, on récupère deux fois la mise. On ne peut pas miser sur le 0 et si la bille s'arrête dessus la mise est perdue pour le joueur. Estelle veut savoir quelle est la meilleure stratégie pour optimiser ses gains.
0
0
Identifier l’expérience aléatoire, son univers et la loi de probabilité associée
Ici, l'expérience aléatoire est une partie de roulette de casino durant laquelle une bille s’arrête aléatoirement sur une des 37 cases décrites dans l'énoncé.
L’univers est donc composé des 37 cases de la roulette. On note Ω={0,1,2…35,36}.
La bille est supposée être équilibrée et peut s'arrêter sur chaque case avec la même probabilité. La loi de probabilité est donc uniforme. Soit i tel que 0≤i≤36 et pi=371.
1
1
Définir des variables aléatoires pertinentes et leurs lois
On veut associer une variable aléatoire aux gains de chacune des deux stratégies suivantes. Notons m la mise d’Estelle, un nombre réel strictement positif.
Première stratégie :
On mise sur un numéro, de 1 à 36.
On gagne 35 fois la mise si notre numéro est le bon, sinon la mise est perdue.
On définit X la variable aléatoire représentant ce que récupère Estelle à l’issue d’une partie.
La loi de X est donc P(X=35×m)=371,P(X=0)=361.
Deuxième stratégie :
On mise sur une couleur, rouge ou noire.
On gagne 2 fois la mise si notre couleur est sélectionnée, sinon la mise est perdue.
On définit Y la variable aléatoire représentant ce que récupère Estelle à l’issue d’une partie.
La loi de Y est donc P(Y=2×m)=3718,P(X=0)=3619.
Il suffit désormais de compter le nombre d’éventualités de Ω pour lesquelles une stratégie est gagnante pour obtenir les lois de X ou Y puisque la loi de probabilité associée à Ω est uniforme.
2
2
Résoudre le problème en calculant les espérances
Il ne reste maintenant plus qu’à calculer l'espérance de X et de Y afin de savoir quelle stratégie rapporte en moyenne le plus de gains : EX=35×m×371=3735m ; EY=2×m×3718=3736m.
On a : EY>EX. La stratégie « miser sur une couleur » rapporte donc en moyenne un gain supérieur à la stratégie « miser sur un chiffre ».
On peut cependant noter que pour les deux stratégies, le gain moyen est inférieur à la mise. En effet EX<m et EY<m. Sur un très grand nombre de parties, Estelle perd donc de l’argent.