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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
1
Les suites numériques
2
Suites arithmétiques et géométriques
Formules et Théorèmes

  • Suite définie par récurrence

    Une suite (un)(u_n) est définie par récurrence s’il existe une fonction ff et un réel aa fixé tels que :
    {u0=aun+1=f(un) pour tout n∈N\left\{ \begin{array}{c} u_0 = a \\ u_{n+1} = f(u_n) \ \text {pour tout} \ n \in \mathbb{N} \end{array} \right.

  • Suite définie explicitement en fonction de nn

    Le terme général d’une suite (un)(u_n) est défini explicitement en fonction de nn s’il existe une fonction ff de variable nn telle que :
    Pour tout n∈Nn\in\mathbb{N},  un=f(n)u_{n} = f(n)

  • Expressions d’une suite arithmétique

    Une suite arithmétique (un)(u_n) de raison rr et de premier terme u0u_0 est définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
    Par récurrence Forme explicite
    un+1=un+ru_{n+1} = u_n + r un=u0+nru_n = u_0 + nr
    Pour tout n≥pn\ge p, un=up+(n−p)×ru_n = u_p + (n-p) \times r Pour tout n≥pn \geq p   un=up+(n−p)ru_n = u_p + (n-p) r  

  • Expressions par récurrence d’une suite géométrique

    Une suite géométrique (un)(u_n) de raison qq et de premier terme u0u_0 est définie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} par :
    Par récurrence Forme explicite
    un+1=q×unu_{n+1} = q \times u_n un=u0×qnu_n = u_0\times q^n
    Pour tout n≥pn\ge p, un=up×qn−pu_n = u_p \times q^{n-p} Pour tout n≥pn \geq p   un=up×qn−pu_n = u_p\times q^{n-p}

  • Somme de termes d’une suite arithmétique

    La somme des termes consécutifs du rang PP au rang nn d’une suite arithmétique (un)(u_n) de raison rr est :
    up+...+un=(n−p+1)×up+un2u_p + ... + u_n = (n-p+1) \times \frac{u_p+u_n}{2}
    Cas particulier
    Somme des premiers entiers : 1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}

  • Somme de termes d’une suite géométrique

    La somme des termes consécutifs du rang PP au rang nn d’une suite géométrique (un)(u_n) de raison qq est :
    up+...+un=up×1−q(n−p+1)1−qu_p+...+u_n = u_p \times \frac{1-q^{(n-p+1)}}{1-q}
    Cas particulier
    Somme des termes de la suite qnq^n : 1+q+...+qn=1−qn+11−q1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

  • Suite croissante

    Une suite (un)(u_n) est dite croissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
    un≤un+1u_n \leq u_{n+1}
    Elle est strictement croissante si un<un+1u_n < u_{n+1}

  • Suite décroissante

    Une suite (un)(u_n) est dite décroissante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
    un≥un+1u_n \geq u_{n+1} un≥un+1u_n \geq u_{n+1}
    Elle est strictement décroissante si un>un+1u_n > u_{n+1}

  • Suite constante

    Une suite (un)(u_n) est dite constante si pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} :
    un=un+1u_n = u_{n+1}

  • Déterminer la monotonie d’une suite définie à l’aide de nn

    Soit (un)(u_n) une suite définie de façon explicite par un=f(n)u_n = f(n) pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.
    Si ff est croissante sur R+\mathbb{R}^{+} alors (un)(u_n) est croissante.
    Si ff est décroissante sur R+\mathbb{R}^{+} alors (un)(u_n) est décroissante.

  • Sens de variation d’une suite arithmétique

    Soit (un)(u_n) une suite arithmétique de raison rr.
    Si r>0r>0, la suite (un)(u_n) est strictement croissante.
    Si r<0r<0, la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.
    Si r=0r=0, la suite (un)(u_n) est constante.

  • Sens de variation de la suite géométrique un=qnu_n=q^n

    Soit (un)(u_n) la suite géométrique de raison q>0q>0 et de premier terme 11, telle que, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N},  un=qnu_n=q^n.
    Si q>1q>1, la suite (un)(u_n) est strictement croissante.
    Si 0<q<10<q<1 , la suite (un)(u_n) est strictement décroissante.
    Si q=1q=1, la suite (un)(u_n) est constante.
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