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1
Les suites numériques
2
Suites arithmétiques et géométriques
2
Suites arithmétiques et géométriques
A
Suites arithmétiques
Définition
Suite arithmétique
Une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est
arithmétique
s’il existe un réel
r
r
r
tel que pour tout entier naturel
n
n
n
pour lequel la suite est définie :
u
n
+
1
=
u
n
+
r
u_{n+1} = u_n + r
u
n
+
1
=
u
n
+
r
Le réel
r
r
r
est appelé
raison
de la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
.
Exemple
La suite définie pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
par :
{
u
n
+
1
=
u
n
+
3
u
0
=
2
\begin{cases} u_{n+1}= u_n + 3 \\ u_0 = 2 \end{cases}
{
u
n
+
1
=
u
n
+
3
u
0
=
2
est une suite arithmétique de raison
3
3
3
et de premier terme
2
2
2
.
Pour calculer un terme de cette suite, on ajoute
3
3
3
au terme précédent, par exemple :
u
0
=
2
u_0 = 2
u
0
=
2
;
u
1
=
u
0
+
3
=
5
u_1 = u_0 + 3 =5
u
1
=
u
0
+
3
=
5
;
u
2
=
u
1
+
3
=
8
u_2 = u_1 + 3 = 8
u
2
=
u
1
+
3
=
8
, etc.
Propriété
Expression explicite des termes d’une suite arithmétique
Soit une suite arithmétique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
de raison
r
r
r
et de premier terme
u
0
u_0
u
0
:
Pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
,
u
n
=
u
0
+
n
r
u_n = u_0 + nr
u
n
=
u
0
+
n
r
De façon générale, à partir d’un rang quelconque
P
P
P
:
Pour tout
n
≥
p
n \geq p
n
≥
p
,
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
r
u_n = u_p + (n-p) r
u
n
=
u
p
+
(
n
−
p
)
r
Exemple
En reprenant la suite définie précédemment par :
{
u
n
+
1
=
u
n
+
3
u
0
=
2
\begin{cases} u_{n+1}= u_n + 3 \\ u_0 = 2 \end{cases}
{
u
n
+
1
=
u
n
+
3
u
0
=
2
L’expression explicite du terme général
u
n
u_n
u
n
est :
u
n
=
3
n
+
2
u_n = 3n +2
u
n
=
3
n
+
2
.
La suite définie de façon explicite pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
par
v
n
=
5
−
2
n
v_n= 5-2n
v
n
=
5
−
2
n
est une suite arithmétique de raison
−
2
-2
−
2
et de premier terme
v
0
=
5
v_0= 5
v
0
=
5
.
Propriété
Sens de variation d’une suite arithmétique
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite arithmétique de raison
r
r
r
.
Si
r
>
0
r>0
r
>
0
, la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement
croissante
.
Si
r
<
0
r<0
r
<
0
, la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement
décroissante
.
Si
r
=
0
r=0
r
=
0
, la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est
constante
.
Propriété
Représentation graphique d’une suite arithmétique
Les points
A
n
(
n
;
u
n
)
A_n(n\text{ ; }u_n)
A
n
(
n
;
u
n
)
constituant la représentation graphique d’une suite arithmétique
sont alignés
.
Exemple
Propriété
Somme des premiers termes d’une suite arithmétique
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite arithmétique de raison
r
r
r
et de premier terme
u
0
u_0
u
0
. Alors pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
:
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
(
n
+
1
)
(
u
0
+
u
n
)
2
u_0+u_1+ \cdots +u_n = \frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
2
(
n
+
1
)
(
u
0
+
u
n
)
Exemple
Calculer la somme des
10
10
10
premiers entiers
S
=
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
10
S=1+2+3+ ...+10
S
=
1
+
2
+
3
+
...
+
10
.
En posant
u
n
=
n
u_n = n
u
n
=
n
(suite arithmétique de raison
1
1
1
), on a d’après ce qui précède :
1
+
2
+
⋯
+
n
=
n
(
n
+
1
)
2
1+2+ \cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}
1
+
2
+
⋯
+
n
=
2
n
(
n
+
1
)
Ici
n
=
10
n=10
n
=
10
, donc
S
=
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
10
=
10
×
(
10
+
1
)
2
S=1+2+3+ ...+10=\frac{10\times(10+1)}{2}
S
=
1
+
2
+
3
+
...
+
10
=
2
10
×
(
10
+
1
)
S
=
55
S=55
S
=
55
Formule
Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique se calcule selon la formule :
nombre de termes
×
premier terme
+
dernier terme
2
\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}2
nombre de termes
×
2
premier terme
+
dernier terme
Exemple
Calculer la somme
S
=
u
7
+
u
8
+
.
.
.
.
+
u
20
S=u_7+u_8+....+u_{20}
S
=
u
7
+
u
8
+
....
+
u
20
des termes de la suite arithmétique définie précédemment par :
{
u
n
+
1
=
u
n
+
3
u
0
=
2
\begin{cases} u_{n+1}= u_n + 3 \\ u_0 = 2 \end{cases}
{
u
n
+
1
=
u
n
+
3
u
0
=
2
L’expression explicite du terme général est
u
n
=
3
n
+
2
u_n = 3n +2
u
n
=
3
n
+
2
.
Nombres de termes : la somme à calculer comprend
20
−
7
+
1
=
14
20-7+1=14
20
−
7
+
1
=
14
termes.
Premier terme de cette somme :
u
7
=
3
×
7
+
2
=
23
u_7=3\times7+2=23
u
7
=
3
×
7
+
2
=
23
.
Dernier terme de cette somme :
u
20
=
3
×
20
+
2
=
62
u_{20}=3\times20+2=62
u
20
=
3
×
20
+
2
=
62
.
D’après la propriété ci-dessus :
S
=
nombre de termes
×
premier terme
+
dernier terme
2
S=\text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}2
S
=
nombre de termes
×
2
premier terme
+
dernier terme
D’où :
S
=
14
(
23
+
62
)
2
=
595
S=\frac{14(23+62)}{2}=595
S
=
2
14
(
23
+
62
)
=
595
B
Suites géométriques
Définition
Suite géométrique
Une suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est dite géométrique s’il existe un réel
q
q
q
tel que pour tout entier naturel
n
n
n
pour lequel la suite est définie :
u
n
+
1
=
q
×
u
n
u_{n+1}=q \times u_n
u
n
+
1
=
q
×
u
n
Le réel
q
q
q
est appelé raison de la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
Exemple
La suite définie pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
par :
{
u
n
+
1
=
2
×
u
n
u
0
=
3
\begin{cases} u_{n+1}= 2 \times u_n \\ u_0 = 3 \end{cases}
{
u
n
+
1
=
2
×
u
n
u
0
=
3
est géométrique de raison
2
2
2
.
Pour calculer un terme de cette suite, on multiplie le précédent par la raison :
u
0
=
3
u_0=3
u
0
=
3
;
u
1
=
2
×
u
0
=
2
×
3
=
6
u_1=2\times u_0=2 \times 3=6
u
1
=
2
×
u
0
=
2
×
3
=
6
;
u
2
=
2
×
u
1
=
2
×
6
=
12
u_2=2\times u_1=2 \times 6=12
u
2
=
2
×
u
1
=
2
×
6
=
12
, etc.
Propriété
Expression explicite des termes d’une suite géométrique
Soit une suite géométrique
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
de raison
q
q
q
et de premier terme
u
0
u_0
u
0
:
Pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
,
u
n
=
u
0
×
q
n
u_n = u_0\times q^n
u
n
=
u
0
×
q
n
De façon générale, à partir d’un rang quelconque
P
P
P
:
Pour tout
n
≥
p
n \geq p
n
≥
p
,
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
u_n = u_p\times q^{n-p}
u
n
=
u
p
×
q
n
−
p
Exemple
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
la suite définie précédemment par :
{
u
n
+
1
=
2
×
u
n
u
0
=
3
\begin{cases} u_{n+1}= 2 \times u_n \\ u_0 = 3 \end{cases}
{
u
n
+
1
=
2
×
u
n
u
0
=
3
La forme explicite du terme général de cette suite est
u
n
=
3
×
2
n
u_n = 3 \times 2^n
u
n
=
3
×
2
n
pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
La suite
(
v
n
)
(v_n)
(
v
n
)
définie de façon explicite pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
par
v
n
=
5
n
3
v_n= \frac{5^n}{3}
v
n
=
3
5
n
est une suite géométrique de raison
q
=
5
q=5
q
=
5
et de premier terme
u
0
=
1
3
u_0 = \frac{1}{3}
u
0
=
3
1
.
Propriété
Sens de variation de la suite géométrique définie par
u
n
=
q
n
, pour tout
n
∈
N
u_n=q^n\text{ , pour tout }n\in\mathbb{N}
u
n
=
q
n
, pour tout
n
∈
N
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
la suite géométrique de raison
q
>
0
q>0
q
>
0
et de premier terme
1
1
1
, telle que
u
n
=
q
n
u_n=q^n
u
n
=
q
n
.
Si
q
>
1
q>1
q
>
1
, la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement croissante.
Si
0
<
q
<
1
0<q<1
0
<
q
<
1
, la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est strictement décroissante.
Si
q
=
1
q=1
q
=
1
, la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est constante.
Exemple
La suite géométrique de premier terme
u
0
=
1
u_0 = 1
u
0
=
1
et de raison
2
2
2
a pour expression explicite :
u
n
=
2
n
u_n = 2^n
u
n
=
2
n
pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
.
Ici,
q
=
2
q = 2
q
=
2
et
q
>
1
q>1
q
>
1
Cette suite est donc strictement croissante.
Propriété
Représentation graphique d’une suite géométrique
Les points
A
n
(
n
;
u
n
)
A_n(n\text{ ; }u_n)
A
n
(
n
;
u
n
)
de la représentation graphique d’une suite géométrique ne sont pas alignés.
Propriété
Somme des premiers termes d’une suite géométrique
Soit
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
une suite géométrique de raison
q
q
q
et de premier terme
u
0
u_0
u
0
. Alors pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
:
si
q
≠
1
q \neq 1
q
=
1
:
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
u
0
×
q
n
+
1
−
1
q
−
1
u_0 + u_1+ \cdots + u_n = u_0 \times \frac{q^{n+1}-1}{q-1}
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
u
0
×
q
−
1
q
n
+
1
−
1
;
si
q
=
1
q=1
q
=
1
: la suite est constante et
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
(
n
+
1
)
×
u
0
u_0 + u_1+ \cdots + u_n = (n+1) \times u_0
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
n
=
(
n
+
1
)
×
u
0
.
Exemple
Calculer la somme des
n
+
1
n+1
n
+
1
premiers termes de la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
définie, pour tout
n
∈
N
n \in \mathbb{N}
n
∈
N
par
u
n
=
q
n
u_n = q^n
u
n
=
q
n
.
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
est une suite géométrique de premier terme
u
0
=
1
u_0= 1
u
0
=
1
de raison
q
q
q
, d’après la propriété ci-dessus :
u
0
=
1
u_0= 1
u
0
=
1
Calculer la somme des
5
5
5
premiers termes de la suite
(
u
n
)
(u_n)
(
u
n
)
définie précédemment par :
{
u
n
+
1
=
2
×
u
n
u
0
=
3
\begin{cases} u_{n+1}= 2 \times u_n \\ u_0 = 3 \end{cases}
{
u
n
+
1
=
2
×
u
n
u
0
=
3
En utilisant la propriété ci-dessus :
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
5
=
3
×
2
5
+
1
−
1
2
−
1
=
3
(
2
6
−
1
)
=
189
u_0 + u_1 + \cdots + u_5 = 3\times\frac{2^{5+1}-1}{2-1} = 3(2^{6}-1)=189
u
0
+
u
1
+
⋯
+
u
5
=
3
×
2
−
1
2
5
+
1
−
1
=
3
(
2
6
−
1
)
=
189
Formule
Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison
q
≠
1
q \neq 1
q
=
1
est :
premier terme
×
raison
nombre de termes
−
1
raison
−
1
\text{premier terme} \times \frac{\text{raison}^{\text{nombre de termes}-1}}{\text{raison}-1}
premier terme
×
raison
−
1
raison
nombre de termes
−
1
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2nde
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