Une suite $(u_{n})$ est une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.

• $(u_{n})\text{ : }n\to u_{n}$

On dit que $u_{n}$ est le terme d’indice $n$ ou le terme général de la suite $(u_{n})$.

Il existe différentes façons de définir la valeur du terme de rang $n$ d’une suite $(u_{n})$, en particulier :

• De façon explicite, lorsque le terme de rang $n$ peut être exprimé en fonction de $n$ :
• $u_n = f(n)$ pour tout entier naturel $n$.
• Par récurrence, lorsqu’un terme est fonction du (ou des) terme(s) précédent(s). On donne alors :
• une formule de récurrence : $u_{n+1}=f(u_{n})$ ;
• le terme initial, par exemple : $u_{0}=a$, où $a$ est un réel fixé.

$\left\{ \begin{array}{c} u_{n+1}=f(u_{n}) \\ u_{0}=a \end{array} \right.$

• La suite $(u_n)$ définie par $u_n = \sqrt{n}$ pour tout entier naturel $n$ est définie de façon explicite, à l’aide de la fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$.
• Calculons les premiers termes :
  • $u_0 = \sqrt{0}=0$ ;
  • $u_1 = \sqrt{1}=1$ ;
  • $u_2 = \sqrt{2}$ ;
  • $u_3 = \sqrt{3}$ ;
  • $u_4 = \sqrt{4}=2$, etc.
• La suite $(v_n)$ ci-dessous est définie par récurrence pour tout entier naturel $n$ par :

$\begin{cases} v_{n+1}= v_n + 3 \\ v_0 = 1 \end{cases}$

• Pour obtenir un terme de la suite, on ajoute $3$ au terme précédent. Sachant que la suite commence à $v_0 = 1$, on peut calculer ainsi, de proche en proche, tous les termes :
• $v_0 = 1$ ;
• $v_1 = v_0+3 = 1+3 = 4$ ;
• $v_2 = v_1+3 = 4+3 = 7$, etc.

Il existe d’autres modes de génération d’une suite, par exemple :

• Le terme de rang $n+1$ peut dépendre à la fois de $n$ et de $u_n$ comme dans la suite définie sur $\mathbb{N}$ par :

$\begin{cases} u_{n+1}= u_n + n \\ u_0 = 1 \end{cases}$

• Dans un problème, il est aussi possible qu’une suite ne soit pas donnée par une formule, mais par une construction géométrique ou bien par un énoncé (comme dans l’exemple précédent avec la suite donnant l’évolution de la population française en fonction de l’année).

La représentation graphique d’une suite dans un repère du plan est formée des points $A_{n}$ de coordonnées $(n$ ; $u_{n})$.

Représentation graphique d’une suite définie de manière explicite :

• La suite $(u_{n})$ est définie de manière explicite sur $\mathbb{N}$ par $u_{n}=2n+1$

Représentation graphique d’une suite définie par récurrence :

• La suite $(v_{n})$ est définie par récurrence sur $\mathbb{N}$ par :

$\begin{cases} v_{n+1}= \sqrt{1+v_n} \\ v_0 = -0\text{,}5 \end{cases}$

Une suite $(u_n)$ est :

• croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \leq u_{n+1}$ ;
• strictement croissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n < u_{n+1}$ ;
• décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n \ge u_{n+1}$ ;
• strictement décroissante si pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n > u_{n+1}$ ;
• monotone (respectivement strictement monotone) si elle est croissante ou décroissante (respectivement strictement croissante ou strictement décroissante).

Une suite $(u_n)$ est constante si pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = u_{n+1}$

• La suite définie par $u_n = n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ est strictement croissante car :
  • $u_n=n$, $u_{n+1} = n+1$ or pour tout $n \in \mathbb{N} \ n+1> n$ donc $u_n<u_{n+1}$
• La suite définie par récurrence pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$\begin{cases} u_{n+1}= u_n - 1 \\ u_0 = 3 \end{cases}$ est strictement décroissante car pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n-1$ et $u_n-1<u_n$ donc $u_{n+1}<u_n$

Soit $(u_n)$ une suite définie par : $u_n = f(n)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ , où $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}^{+}$.

• Si $f$ est croissante (respectivement strictement croissante) sur $\mathbb{R}^{+}$ alors $(u_n)$ est croissante (respectivement strictement croissante).
• Si $f$ est décroissante (respectivement strictement décroissante) sur $\mathbb{R}^{+}$ alors $(u_n)$ est décroissante (respectivement strictement décroissante).

La suite $(u_n)$ définie, pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_{n+1}=-u_n+5$ et $u_0=2$ est décroissante car la fonction associée $f$ définie par $f(x)=-x+5$  est une fonction affine décroissante sur $\mathbb{R}$, donc sur $\mathbb{R}^{+}$.