undefined - Fiche de révision Afterclasse

Calculer les termes d’une suite définie de façon explicite $u_n =f(n)$

Calculer les trois premiers termes et le dixième terme de la suite

(u_n)

définie pour tout

n\in\mathbb{N}

par

u_n=3n^2-2

.

0

Identifier la valeur de $n$

Le premier terme de la suite est $u_0$ :

pour calculer $u_0$ , il faut remplacer $n$ par $0$ .

Le second terme de la suite est $u_1$ :

pour calculer $u_1$ , il faut remplacer $n$ par $1$ .

Le troisième terme de la suite est $u_2$ :

pour calculer $u_2$ , il faut remplacer $n$ par $2$ .

La suite commençant à $u_0$ , le dixième terme est $u_9$ :

pour calculer $u_9$ , il faut donc remplacer $n$ par $9$ .

1

Remplacer $n$ par sa valeur dans l’expression de $u_n$

$u_0=3\times 0^2-2=-2$
$u_1=3\times 1^2-2=1$
$u_2=3\times 2^2-2=10$
$u_9=3\times 9^2-2=79$

2

Conclure

Les trois premiers termes de la suite $(u_n)$ ont respectivement pour valeurs : $-2$ , $1$ et $10$ .
Le dixième terme a pour valeur : $79$ .

Calculer les termes d’une suite définie par récurrence

Soit

(u_n)

la suite définie pour tout

n\in\mathbb{N}

par

\begin{cases} u_0=3 \\ u_{n+1} = 2u_n - 1 \end{cases}

.

Calculer

u_3

.

0

Identifier les termes de la suite à calculer

La suite étant définie par récurrence :

pour calculer $u_3$ , il faut connaître la valeur de $u_2$ ;
pour calculer $u_2$ , il faut connaître la valeur de $u_1$ ;
pour calculer $u_1$ , on utilise la valeur donnée de $u_0$ .

1

Calculer les termes à partir du premier terme en utilisant la valeur du terme précédent

$u_1=2u_0-1=2\times3-1=5$
$u_2=2u_1-1=2\times5-1=9$
$u_3=2u_2-1=2\times9-1=17$

2

Conclure

Le quatrième terme de la suite $(u_n)$ est $u_3=17$ .

Reconnaître la nature (arithmétique ou géométrique) d’une suite définie par récurrence

Pour chacune des suites suivantes, indiquer, en justifiant, s’il s’agit d’une suite arithmétique ou géométrique.
Préciser son premier terme et sa raison, et donner sa forme explicite.

(u_n)

est la suite définie pour tout

n\in\mathbb{N}

par

\begin{cases} u_0=-2 \\ u_{n+1} = u_n-5 \end{cases}

.

(v_n)

est la suite définie pour tout

n\in\mathbb{N}

par

\begin{cases} v_0=1 \\ v_{n+1} = -v_n \end{cases}

.

0

Rappeler les définitions

Une suite arithmétique est définie par récurrence par : $u_{n+1} = u_n + r$ où $r$ est un réel fixé. La différence $u_{n+1}-u_n$ est donc constante, elle est égale à la raison $r$ .
Une suite géométrique est définie par récurrence par : $u_{n+1} = q \times u_n$ où $q$ est un réel fixé. Le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ a donc une valeur constante, égale à la raison $q$ .

1

Calculer selon le cas, la différence ou le quotient de deux termes consécutifs

Pour la suite $(u_n)$ , pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a :

$u_{n+1}-u_n=(u_n-5)-u_n=-5$ ;
La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=-5$ et de premier terme $u_0=-2$ .

Pour la suite $(v_n)$ , pour tout $n\in\mathbb{N}$ , on a :

$\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{-v_n}{v_n}=-1$ ;
La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=-1$ et de premier terme $v_0=1$ .

2

Donner l’expression des suites sous forme explicite

La suite $(u_n)$ étant une suite arithmétique, son expression en fonction de $n$ est de la forme : $u_n = u_0 + nr$ . D’où pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $u_n=-2-5n=-5n-2$ .
La suite $(v_n)$ étant une suite géométrique, son expression en fonction de $n$ est de la forme : $v_n = v_0\times q^n$ . D’où pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $v_n=1\times (-1)^n=(-1)^n$ .

Étudier les variations d’une suite définie sous forme explicite

Étudier les variations des suites suivantes, définies pour tout

n\in\mathbb{N}

.

u_n=(-3)^n+2n

;

v_n=2,3^n

;

w_n=n^2

;

t_n=-2n+3

.

En fonction de la suite donnée, plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour en étudier les variations. On peut ainsi :

0

Établir une conjecture en calculant les premiers termes de la suite

Pour la suite $(u_n)$ :

$u_0=(-3)^0+2\times0=1$ ;
$u_1=(-3)^1+2\times1=-1$ ;
$u_2=(-3)^2+2\times2=13$ ;
$u_3=(-3)^3+2\times3=-21$ .

On constate que $u_0>u_1$ , $u_1<u_2$ , et $u_2>u_3$ : La suite $(u_n)$ n’est donc pas monotone.
Pour la suite $(w_n)$ :

$w_0=0^2=0$ ;
$w_1=1^2=1$ ;
$w_2=2^2=4$ ;
$w_3=3^2=9$ .

On constate que $w_0<w_1<w_2<w_3$ : on cherchera donc à montrer que la suite $(w_n)$ est croissante.

1

Rechercher la nature éventuelle de la suite (arithmétique ou géométrique)

Le terme général de la suite $(v_n)$ est de la forme $v_n=q^n$ , avec $q=2,3$ .

La suite $(v_n)$ est une suite géométrique. La raison $q$ est telle que $q>1$ .
La suite $(v_n)$ est donc strictement croissante.

Le terme général de la suite $(t_n)$ est de la forme $t_n=t_0+nr$ , avec $r=-2$ et $t_0=3$ .

La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique de raison $-2<0$ .
La suite $(t_n)$ est donc strictement décroissante.

2

Identifier la fonction associée

La fonction associée à la suite $(w_n)$ est définie par $h(x)=x^2$ . Cette fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R^+}$ .
La suite $(w_n)$ est donc strictement croissante.

Tracer la représentation graphique d’une suite définie par récurrence

Tracer la représentation graphique de la suite

(u_n)

définie sur

\mathbb{N}

par :

\begin{cases} v_{n+1}=\sqrt{1+v_n} \\ v_0 = -0\text{,}5 \end{cases}

.

Pour représenter sur un axe une suite

(u_n)

définie par récurrence par

u_{n+1} = f(u_n)

, on peut suivre les étapes suivantes :
Tracer un repère

(O,I, J)

, puis dans ce repère :

0

Tracer la courbe représentative de la fonction $f$

1

Tracer la courbe représentative de la fonction $g : x \rightarrow x$ dans le même repère

C’est une droite appelée première bissectrice du repère, car elle coupe en deux l’angle entre l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.

2

Placer le premier terme $u_0$ sur l’axe $(Ox)$

3

En utilisant la courbe de la fonction $f$ , placer l’image $u_0$ par $f$ sur l’axe $(Oy)$

On a ainsi trouvé l’emplacement de $u_1 = f(u_0)$ sur l’axe $(Oy)$ .

4

Utiliser la courbe de $g : x \rightarrow x$ pour repositionner $u_1$ sur l’axe $(Ox)$

5

Calculer les termes d’une suite définie de façon explicite un=f(n)u_n =f(n)un​=f(n)

Identifier la valeur de nnn

Remplacer nnn par sa valeur dans l’expression de unu_nun​

Conclure

Calculer les termes d’une suite définie par récurrence

Identifier les termes de la suite à calculer

Calculer les termes à partir du premier terme en utilisant la valeur du terme précédent

Conclure

Reconnaître la nature (arithmétique ou géométrique) d’une suite définie par récurrence

Rappeler les définitions

Calculer selon le cas, la différence ou le quotient de deux termes consécutifs

Donner l’expression des suites sous forme explicite

Étudier les variations d’une suite définie sous forme explicite

Établir une conjecture en calculant les premiers termes de la suite

Rechercher la nature éventuelle de la suite (arithmétique ou géométrique)

Identifier la fonction associée

Tracer la représentation graphique d’une suite définie par récurrence

Tracer la courbe représentative de la fonction fff

Tracer la courbe représentative de la fonction g:x→xg : x \rightarrow xg:x→x dans le même repère

Placer le premier terme u0u_0u0​ sur l’axe (Ox)(Ox)(Ox)

En utilisant la courbe de la fonction fff, placer l’image u0u_0u0​ par fff sur l’axe (Oy)(Oy)(Oy)

Utiliser la courbe de g:x→xg : x \rightarrow xg:x→x pour repositionner u1u_1u1​ sur l’axe (Ox)(Ox)(Ox)

Recommencer à la première étape avec le terme u1u_1u1​

Calculer les termes d’une suite définie de façon explicite $u_n =f(n)$

Identifier la valeur de $n$

Remplacer $n$ par sa valeur dans l’expression de $u_n$

Tracer la courbe représentative de la fonction $f$

Tracer la courbe représentative de la fonction $g : x \rightarrow x$ dans le même repère

Placer le premier terme $u_0$ sur l’axe $(Ox)$

En utilisant la courbe de la fonction $f$ , placer l’image $u_0$ par $f$ sur l’axe $(Oy)$

Utiliser la courbe de $g : x \rightarrow x$ pour repositionner $u_1$ sur l’axe $(Ox)$

Recommencer à la première étape avec le terme $u_1$