Lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
si f′(x)⩽0 sur I, alors f est décroissante sur I ;
si f′(x)=0 sur I, alors f est constante sur I ;
si f′(x)⩾0 sur I, alors f est croissante sur I.
Exemple
Soit f la fonction définie sur [0;20] par f(x)=−2x3+21x2−60x+15. Construire le tableau de variations de la fonction f.
La fonction f est une fonction trinôme du second degré, on calcule le discriminant pour déterminer les éventuelles racines :
Δ=b2−4ac=422−4×(−6)×(−60)=324>0
On en déduit les racines :
x1=2a−b−Δ=2×(−6)−42−324=−12−42−18=5
x2=2a−b−Δ=2×(−6)−42+324=−12−42+18=2
On en déduit le signe de f′(x) (cf. tableau ci-contre)
On calcule les images de 0, 2, 5 et 20 par f :
f(0)=−2×03+21×02−60×0+15=15
On obtient de même f(2)=−37, f(5)=−10 et f(20)=−8785.
On obtient donc le tableau de variations de la fonction f ci-contre.
BExtremums d’une fonction
Définition
Extremum local
Soit a et b deux réels. Un intervalle ouvert est un intervalle de la forme ]a;b[, ]−∞;b[, ]a;+∞[ ou ]−∞;+∞[. On dit qu'une fonction f définie sur un intervalle I admet un extremum local en un réel a de I s'il existe un intervalle ouvert J contenu dans I tel que f admette en a un extremum sur J. Autrement dit, f admet un extremum local en a si a n'est pas une borne de l'intervalle I.
Propriété
Extremum d’une fonction
Si f admet un extremum en a, alors f′(a)=0.
Si f′ s'annule en changeant de signe en a, alors f admet un extremum local en a.
Remarque
La condition « s'annule en changeant de signe » est très importante. En effet, si l'on considère la fonction cube, la dérivée s'annule en 0 (sans changer de signe), mais la fonction cube n'admet pas d'extremum local en 0 car elle est strictement croissante sur R.
Exemple
Le cout de production en euros de x objets est modélisé par la fonction C définie sur [1;10] par C(x)=0.1x3−x2+5x. Le cout moyen de x objets est alors modélisé par la fonction CM définie sur [1;10] par CM(x)=xC(x).
Déterminer le nombre d'objets que doit produire l'entreprise pour que le cout moyen soit minimal.
On exprime pour commencer CM(x) en fonction de x :
CM(x)=xC(x)=x0.1x3−x2+5x=0.1x2−x+5
La fonction CM est une fonction trinôme du second degré, elle est donc dérivable sur [1;10] et on a CM′(x)=0.1×2x−1=0.2x−1.
On étudie le signe de CM′(x) (cf. tableau ci-contre)
On calcule les images de 1, 5 et 10 par la fonction CM :
CM(1)=0.1×12−12+5=4.1
On obtient de même CM(5)=2.5 et CM(10)=5.
On obtient alors ci-contre le tableau de variations de la fonction CM.
La fonction CM admet donc un minimum local en 5 : l'entreprise doit produire 5 objets pour que le cout moyen soit minimal.