Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On considère deux réels $a$ appartenant à $I$ et $h$ non nul tel que $a+h$ appartienne à $I$.
On appelle taux d'accroissement de $f$ entre $a$ et $h$ le réel $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x+1$. Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $3$ (on prend donc ici $a=1$ et $h=2$).  

• On calcule $f(1)$ et $f(3)$ :
  • $f(1)=1^2-1+1=1-1+1=1$
  • $f(3)=3^2-3+1=9-3+1=7$
• On calcule le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $3$ :
  • $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}={7-1}{2}=3$
• Le taux d’accroissement de $f$ entre $1$ et $33$ est égal à $3$.

Soit $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$.
On appelle $A$ le point de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse $a$ et $H$ le point de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse $a+h$.
Alors le taux d'accroissement de $f$ en $a$ est le coefficient directeur de la droite $(AH)$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et soit $a$ un réel appartenant à $I$.
On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement de $f$ en $a$ admet une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$.
On note $f'(a)$ le nombre dérivé de $f$ en $a$.

En pratique, on calcule le taux d'accroissement de $f$ en $a$ et on donne des valeurs proches de $0$ à $h$. Si on obtient des valeurs qui se rapprochent d'un nombre fini lorsque $h$ se rapproche de $0$, alors la fonction est dérivable en $a$.

Étudier la dérivabilité en $0$ des fonctions définies sur $[0~;~10]$ par $f(x)=x^2-1$ et $g(x)=\sqrt{x}$.  

• On calcule d'abord le taux d'accroissement de chacune des fonctions en $0$ :
  • $\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{(0+h)^2-1-(0^2-1)}{h}=\frac{h^2-1+1}{h}=\frac{h^2}{h}=h$
  • $\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{\sqrt{h}\times\sqrt{h}}=\frac{1}{\sqrt{h}}$
• On donne maintenant des valeurs se rapprochant de $0$ à $h$ :

$h$	$-0,1$	$-0,01$	$-0,001$	$0,1$	$0,01$	$0,001$
$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}$	$-0,1$	$-0,01$	$-0,001$	$0,1$	$0,01$	$0,001$
$\frac{g(0+h)-g(0)}{h}$				$\frac{1}{\sqrt{0,1}}\approx 3,16$	$\frac{1}{\sqrt{0,01}}=10$	$\frac{1}{\sqrt{0,001}}\approx 31,6$

• Ainsi, la fonction $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$. La fonction $g$ n'est quant à elle pas dérivable en $0$.

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On suppose que la fonction $f$ est dérivable en un réel $a$ de $I$.
La tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$ de coordonnées $(a~;~f(a))$ est la droite passant par $A$ et de coefficient directeur $f'(a)$.

On rappelle qu'une droite peut être définie par la donnée de deux points ou par la donnée d'un point et du coefficient directeur.

On donne ci-contre la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, dérivable en $-4$, ainsi que la tangente à cette courbe au point d'abscisse $-4$ (en rouge).

Le nombre dérivé $f'(-4)$ est le coefficient directeur de la tangente, que l'on détermine par lecture graphique : $m=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}$ où $B$ et $C$ sont deux points de la courbe.

On peut également lire directement le coefficient directeur (en prenant des points de la tangente à coordonnées entières, ou facilement lisibles sur le graphique).

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et dérivable en un réel $a$ de $I$.
La tangente à la courbe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

On reprend l'exemple précédent. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-4$.  

• On sait que $f'(-4)=3$ et on lit graphiquement que $f(-4)=0$.
• Alors $f'(a)(x-a)+f(a)=3(x-(-4))+0=3(x+4)=3x+12$.
• La tangente à la courbe au point d'abscisse $-4$ a pour équation $y=3x+12$.

Si la courbe admet en un réel $a$ une tangente parallèle à l'axe des abscisses (on parle souvent de tangente horizontale), alors on a $f'(a)=0$.