undefined - Fiche de révision Afterclasse

Déterminer un nombre dérivé

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=2x^2-5x+1

.
Démontrer que la fonction

f

est dérivable en

2

et calculer

f'(2)

.

0

Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $2$ et $2+h$

Soit

h

un réel non nul.

On calcule d’abord $f(2+h)$ et $f(2)$ séparément pour simplifier les calculs.
$f(2+h)$ :

$=2(2+h)^2-5(2+h)+1$
$=2(h^2+4h+4)-10-5h+1$ car $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
$=2h^2+8h+8-10-5h+1$
$=2h^2+3h-1$

$f(2)$ :

$=2\times 2^2-5\times 2+1$
$=2\times4-10+1$
$=8-10+1$
$=-1$

On en déduit alors que $f(2+h)-f(2)=2h^2+3h-1-(-1)=2h^2+3h$ .
On termine le calcul du taux d’accroissement $t(h)$ :
- $t(h)=\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$
- $=\frac{2h^2+3h}{h}$
- $=\frac{2h^2}{h}-\frac{3h}{h}$
- $=2h+3$

1

Calculer la limite du taux d’accroissement

On donne des valeurs à $h$ proches de $0$ , et on regarde si le taux d’accroissement se rapproche d’une valeur réelle fixe.

2

Conclure

Le tableau permet d’affirmer que $\lim\limits_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=3$ .
Par définition, la fonction $f$ est dérivable en $2$ et on a $f'(2)=3$ .

Déterminer graphiquement un nombre dérivé

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

dont on donne ci-dessous la courbe représentative. On a également représenté les tangentes à la courbe aux points d’abscisses

-4

,

1

et

3

.
Déterminer par lecture graphique les nombres dérivés

f'(-4)

,

f'(1)

et

f'(3)

.

0

Observer les données

1

Déterminer deux points des tangentes à coordonnées entières

Sur chaque tangente, on détermine par lecture graphique des points à coordonnées entières (ou dont les coordonnées sont facilement lisibles).

2

Lire graphiquement les différences d’abscisses et d’ordonnées entre les points

3

Conclure

Par lecture graphique, on a donc :

$f'(4)=\frac{3}{5}$
$f'(3)=-\frac{5}{4}$

La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses, donc $f'(1)=0$ .

Déterminer graphiquement une équation de tangente

Soit

f

la fonction définie sur

\mathbb{R}

dont on donne ci-dessous la représentation graphique.
On a également représenté la tangente à la courbe au point d’abscisse

6

.
Déterminer une équation de cette tangente.

0

Observer les données

1

Équation de la tangente

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est $y=f'(6)(x-6)+f(6)$ .

2

Lire graphiquement $f'(6)$

$f'(6)$ est le coefficient directeur de la tangente.
On a donc $f'(6)=\frac{6}{3}=2$ .

3

Lire graphiquement l’image de $6$ par $f$

On a donc $f(6)=-1$ .

4

Calculer $f'(6)(x-6)+f(6)$

D’après les résultats précédents, on a $f'(6)(x-6)+f(6)=2(x-6)-1=2x-12-1=2x-13$ .

5

Conclure

La tangente à la courbe au point d’abscisse $6$ a pour équation $y=2x-13$ .

Tracer une tangente

Soit

f

la fonction dont on donne ci-dessous la courbe représentative. On sait que

f'(2)=\frac{3}{5}

.
Tracer la tangente à la courbe représentative de la fonction

f

au point d’abscisse

2

.

0

Observer les données

1

Déterminer graphiquement un premier point de la tangente

Par définition, la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $2$ passe par le point $A$ de coordonnées $(2~;~f(2))$ , soit $(2~;~-1)$ .

2

Construire un deuxième point de la tangente

On sait que $f'(2)=\frac{3}{5}$
En partant du point $A$ , on se déplace donc de $5$ unités vers la droite et $3$ unités vers le haut (car $f'(2)>0$ ).
On obtient le point $B$ .

3

Tracer la tangente

La tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est la droite $(AB)$ .

Calculer la dérivée d’un produit

Soit

f

la fonction définie sur

[1~;~25]

par

f(x)=(-2x^2+5x)\sqrt{x}

.
Déterminer

f'(x)

.

0

Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~25]$

On pose, pour $x\in[1~;~25]$ : $u(x)=-2x^2+5x$ et $v(x)=\sqrt{x}$ .
On a ainsi $f(x)=u(x)\times v(x)$ .
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $[1~;~25]$ , car $u$ est une fonction polynôme et $v$ la fonction racine carrée (l’ensemble de définition de $f$ ne contient pas $0$ ).
La fonction $f$ est donc dérivable sur $[1~;~25]$ comme produit de fonctions dérivables sur $[1~;~25]$ .

1

Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$

Les formules du cours donnent :

$u'(x)=-2\times 2x+5=-4x+5$
$v'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2

Calculer $f'(x)$

Finalement, on a :

\begin{align*} f'(x)&=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &=(-4x+5)\sqrt{x}+(-2x^2+5x)\times\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align*}

3

Simplifier le résultat

On simplifie le résultat, en sachant que $x=\sqrt{x}\times\sqrt{x}$ et $x^2=x\sqrt{x}\times\sqrt{x}$ , pour $x\in[1~;~25]$ .
D’où :

\begin{align*} f'(x)&=(-4x+5)\sqrt{x}+(-2x^2+5x)\times\frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &=-4x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-\frac{2x^2}{2\sqrt{x}}+\frac{5x}{2\sqrt{x}} \\ &=-4x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-\frac{x\sqrt{x}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{5\sqrt{x}\times\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} \\ &=-4x\sqrt{x}+5\sqrt{x}-x\sqrt{x}+\frac{5}{2}\sqrt{x} \\ &=-5x\sqrt{x}+\frac{15}{2}\sqrt{x} \end{align*}

Calculer la dérivée de l’inverse d’une fonction

Soit

f

la fonction définie par

f(x)=\frac{1}{x^2+4x+8}

.
Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction

f

, et calculer

f'(x)

.

0

Déterminer l’ensemble de définition

Soit

v

la fonction définie par

v(x)=x^2+4x+8

.

$f(x)$ existe si $v(x)\neq0$ .
La fonction $v$ étant une fonction trinôme du second degré, on cherche les réels $x$ solutions de l’équation du second degré $v(x)=0$ .
On calcule le discriminant :

$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times1\times8=16-32=-16<0$

L’équation n’admet donc pas de solution, et on a donc $v(x)\neq0$ pour tout réel $x$ .
Ainsi, la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ .

1

Déterminer l’ensemble de dérivabilité

La fonction $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction polynôme, de plus $v$ ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$ .
La propriété sur la dérivabilité de l’inverse d’une fonction permet d’affirmer que la fonction $f$ est alors dérivable sur $\mathbb{R}$ .

2

Calculer $v'(x)$

Pour tout réel $x$ , on a $v'(x)=2x+4$ .

3

Calculer $f'(x)$

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , et pour tout réel $x$ , on a :

$f'(x)=-\frac{v'(x)}{(v(x))^2}=-\frac{2x+4}{(x^2+4x+8)^2}$

Calculer la dérivée d’un quotient de deux fonctions

Soit

f

la fonction définie par

f(x)=\frac{x^2-3x+3}{x^2-2x-8}

.
Déterminer l’ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction

f

, puis calculer

f'(x)

.

0

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$

La fonction $f$ est définie sur l’ensemble $D_f$ des réels $x$ vérifiant $x^2-2x-8\neq0$ .
Pour déterminer cet ensemble, on résout l’équation $x^2-2x-8=0$ , équation du second degré.
On calcule le discriminant de cette équation :

$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0$

L’équation admet donc deux solutions :

$\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)-\sqrt{36}}{2\times1}=\frac{2-6}{2}=-2$
$\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)+\sqrt{36}}{2\times1}=\frac{2+6}{2}=4$

La fonction $f$ est donc définie sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2~;~4\}$ .

1

Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction $f$

Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur $D_f$ par : $u(x)=x^2-3x+3$ et $v(x)=x^2-2x-8$ .
On a alors, pour $x\in D_f$ , $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$
Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur $D_f$ , $v$ ne s’annule pas sur $D_f$ , donc $f$ est dérivable sur $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2~;~4\}$ .

2

Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$

Soit $x$ un réel appartenant à $D_f$ . On a alors $u'(x)=2x-3$ et $v'(x)=2x-2$ .

3

Calculer $f'(x)$

Pour tout réel $x$ de $D_f$ , on a :

\begin{align*} f'(x)&=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{(v(x))^2} \\ &=\frac{(2x-3)(x^2-2x-8)-(x^2-3x+3)(2x-2)}{(x^2-2x-8)^2} \\ &=\frac{2x^3-4x^2-16x-3x^2+6x+24-(2x^3-2x^2-6x^2+6x+6x-6)}{(x^2-2x-8)^2} \\ &=\frac{2x^3-7x^2-10x+24-(2x^3-8x^2+12x-6)}{(x^2-2x-8)^2} \\ &=\frac{2x^3-7x^2-10x+24-2x^3+8x^2-12x+6}{(x^2-2x-8)^2} \\ &=\frac{x^2-22x+30}{(x^2-2x-8)^2} \end{align*}

Attention, on ne développe surtout pas le dénominateur !

Déterminer une équation de tangente par le calcul

Soit

f

la fonction définie sur

[1~;~10]

par

f(x)=4\sqrt{x}-3x-1

.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction

f

au point d’abscisse

4

.

0

Écrire une équation de la tangente

La fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~10]$ comme somme de fonctions dérivables sur $[1~;~10]$ .
La courbe représentative de la fonction $f$ admet donc une tangente au point d’abscisse $4$ et cette tangente a pour équation $y=f'(4)(x-4)+f(4)$ .

1

Calculer $f'(4)$

La fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~10]$ et on a :
- $f'(x)=4\times\frac{1}{2\sqrt{x}}-3=\frac{2}{\sqrt{x}}-3$ .
On en déduit $f'(4)$ :
- $f'(4)=\frac{2}{\sqrt{4}}-3=\frac{2}{2}-3=1-3=-2$

2

Calculer $f(4)$

On a $f(4)=4\sqrt{4}-3\times4-1=4\times2-12-1=8-13=-5$

3

Conclure

On calcule d’abord $f'(4)(x-4)+f(4)$ :

$f'(4)(x-4)+f(4)=-2(x-4)-5=-2x+8-5=-2x+3$

La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $4$ a pour équation $y=-2x+3$ .

Étudier les variations d’une fonction

Soit

f

la fonction définie sur

[0~;~25]

par

f(x)=2x^3-39x^2+252x-150

.
Dresser le tableau de variations de la fonction

f

sur

[0~;~25]

.

0

Calculer $f'(x)$

La fonction $f$ est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, ici l’intervalle $[0~;~25]$ .
Pour tout $x\in[0~;~25]$ , on a : $f'(x)=2\times 3x^2-39\times 2x+252=6x^2-78x+252$ .

1

Étudier le signe de $f'(x)$

La fonction

f'

est une fonction trinôme du second degré, on peut donc étudier son signe.

On calcule le discriminant du trinôme $6x^2-78x+252$ :
- $\Delta=b^2-4ac=(-78)^2-4\times6\times 252=6084-6048=36>0$
Le trinôme admet donc deux racines :
- $\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-78)-\sqrt{36}}{2\times6}=\frac{78-6}{12}=6$
- $\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-78)+\sqrt{36}}{2\times6}=\frac{78+6}{12}=7$
On en déduit le signe de $f'(x)$ ( $a=6>0$ , $\Delta>0$ ) :

2

Déterminer les variations de $f$

La fonction $f'$ est négative sur $[6~;~7]$ , donc $f$ est décroissante sur $[6~;~7]$ .
La fonction $f'$ est positive sur $[0~;~6]$ , donc $f$ est croissante sur $[0~;~6]$ .
La fonction $f'$ est positive sur $[7~;~25]$ , donc $f$ est croissante sur $[7~;~25]$ .

3

Construire le tableau de variations de $f$

On calcule les images de $0$ , $6$ , $7$ et $25$ par $f$ :
- $f(0)=2\times0^3-39\times0^2+252\times0-150=-150$
On obtient de même $f(6)=390$ , $f(7)=389$ et $f(25)=13025$ .
Finalement, la fonction $f$ a pour tableau de variations :

Déterminer un nombre dérivé

Calculer le taux d’accroissement de fff entre 222 et 2+h2+h2+h

Calculer la limite du taux d’accroissement

Conclure

Déterminer graphiquement un nombre dérivé

Observer les données

Déterminer deux points des tangentes à coordonnées entières

Lire graphiquement les différences d’abscisses et d’ordonnées entre les points

Conclure

Déterminer graphiquement une équation de tangente

Observer les données

Équation de la tangente

Lire graphiquement f′(6)f'(6)f′(6)

Lire graphiquement l’image de 666 par fff

Calculer f′(6)(x−6)+f(6)f'(6)(x-6)+f(6)f′(6)(x−6)+f(6)

Conclure

Tracer une tangente

Observer les données

Déterminer graphiquement un premier point de la tangente

Construire un deuxième point de la tangente

Tracer la tangente

Calculer la dérivée d’un produit

Justifier que la fonction fff est dérivable sur [1 ; 25][1~;~25][1 ; 25]

Calculer u′(x)u'(x)u′(x) et v′(x)v'(x)v′(x)

Calculer f′(x)f'(x)f′(x)

Simplifier le résultat

Calculer la dérivée de l’inverse d’une fonction

Déterminer l’ensemble de définition

Déterminer l’ensemble de dérivabilité

Calculer v′(x)v'(x)v′(x)

Calculer f′(x)f'(x)f′(x)

Calculer la dérivée d’un quotient de deux fonctions

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction fff

Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction fff

Calculer u′(x)u'(x)u′(x) et v′(x)v'(x)v′(x)

Calculer f′(x)f'(x)f′(x)

Déterminer une équation de tangente par le calcul

Écrire une équation de la tangente

Calculer f′(4)f'(4)f′(4)

Calculer f(4)f(4)f(4)

Conclure

Étudier les variations d’une fonction

Calculer f′(x)f'(x)f′(x)

Étudier le signe de f′(x)f'(x)f′(x)

Déterminer les variations de fff

Construire le tableau de variations de fff

Calculer le taux d’accroissement de $f$ entre $2$ et $2+h$

Lire graphiquement $f'(6)$

Lire graphiquement l’image de $6$ par $f$

Calculer $f'(6)(x-6)+f(6)$

Justifier que la fonction $f$ est dérivable sur $[1~;~25]$

Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$

Calculer $f'(x)$

Calculer $v'(x)$

Calculer $f'(x)$

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$

Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction $f$

Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$

Calculer $f'(x)$

Calculer $f'(4)$

Calculer $f(4)$

Calculer $f'(x)$

Étudier le signe de $f'(x)$

Déterminer les variations de $f$

Construire le tableau de variations de $f$