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Formules et Théorèmes
À savoir refaire
Graphiques
1
Variations d’une fonction
2
Fonctions de référence
À savoir refaire

  • Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction

    Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

    f(x)=2x+13x−4f(x) = \frac{2x+1}{3x-4}

    g(x)=x−2g(x) = \sqrt{x-2}
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      Poser les conditions d’existence

      • f(x)f(x) existe si 3x−4≠03x-4 \neq 0.
      • g(x)g(x) est défini si x−2≥0x-2\ge0.
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      Résoudre

      • 3x−4≠03x-4 \neq 0 si x≠43x \neq \frac{4}{3}. On dit que 43\frac{4}{3} est une valeur interdite.
      • x−2≥0x-2\ge0 si x≥2x\ge2.
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      Conclure

      • La fonction ff est définie sur RR \ { 43\frac {4}{3} }.
      • La fonction gg est définie sur l’intervalle [2;+∞[[2;+\infty[.

  • Déterminer le sens de variation d’une fonction

    Montrer que la fonction ff définie par  f(x)=−1x+1f(x)= \frac{-1}{x+1} est croissante sur les intervalles ]−∞;−1[]-\infty; -1[ et  ]−1;+∞[]-1; +\infty[.
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      Rechercher l’ensemble de définition

      • La fonction ff est définie pour tout réel xx tel que x+1≠0x+1 \neq 0.
      • Donc pour x≠−1x \neq -1, −1-1 est une valeur interdite et ff est définie sur ]−∞;−1[∪]−1;+∞[]-\infty; -1[\cup]-1; +\infty[.
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      Écrire la formule à démontrer

      • Pour montrer que ff est croissante sur l’intervalle ]−∞;−1[]-\infty;-1[, il faut montrer que pour tous réels aa et bb de ]−∞;−1[]-\infty;-1[, si a≤ba\le b alors f(a)≤f(b)f(a) \le f(b).
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      Démontrer en utilisant les variations des fonctions de référence

      Soient aa et bb tels que <br/>{<br/>a<−1<br/>b<−1<br/>a<b<br/><br />\left\{ \begin{array}{c}<br />a < -1 \\<br />b < -1 \\<br />a < b<br /> \end{array} \right. ce qui équivaut à <br/>{<br/>a+1<0<br/>b+1<0<br/>a<b<br/><br />\left\{ \begin{array}{c}<br />a + 1 < 0 \\<br />b + 1 < 0 \\<br />a < b<br />\end{array} \right.

      • La fonction x→x+1x\to{x+1} est une fonction affine de coefficient directeur positif, donc croissante sur R\mathbb{R}.
        • Donc si a<ba<b alors a+1<b+1a+1<b+1
      • On a a+1<0a+1<0 et b+1<0b+1<0 et la fonction inverse est décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[.
        • Donc si a+1<b+1a+1<b+1 alors 1a+1>1b+1\frac{1}{a+1}>\frac{1}{b+1}
      • La fonction x→−xx\to{-x} est une fonction affine décroissante sur R\mathbb{R}.
        • Donc si 1a+1>1b+1\frac{1}{a+1}>\frac{1}{b+1} alors −1a+1<−1b+1\frac{-1}{a+1}<\frac{-1}{b+1} c’est-à-dire f(a)≤f(b)f(a) \le f(b)

      On a donc montré que si <br/>{<br/>a<−1<br/>b<−1<br/>a<b<br/><br />\left\{ \begin{array}{c}<br /> a < -1 \\<br />b < -1 \\<br />a < b<br />\end{array} \right. alors f(a)≤f(b)f(a) \le f(b), ce qui signifie que la fonction ff est croissante sur l’intervalle ]−∞;−1[]-\infty; -1[.
      On démontre de même qu’elle est croissante sur ]−1;+∞[]-1;+\infty[.
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      Conclure et dresser le tableau de variations

      • D’où le tableau de variations de variations de ff :

  • Encadrer les valeurs d’une fonction

    En utilisant les résultats obtenus précédemment, donner un encadrement de f(x)f(x) lorsque 0≤x≤30 \le x\le3.
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      Rappeler le sens de variation de la fonction ff sur l’intervalle [0;3][0;3]

      • Ici, 0≤x≤30 \le x\le3.
      • On a démontré précédemment que la fonction ff est croissante sur ]−1;+∞[]-1;+\infty[, or [0;3]⊂[−1;+∞[[0;3]\subset[-1;+\infty[.
      • Donc ff est croissante sur [0;3][0;3].
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      Encadrer f(x)f(x) en utilisant cette propriété

      • ff étant croissante sur [0;3][0;3], si 0≤x≤30 \le x\le3 alors f(0)≤f(x)≤f(3)f(0) \le f( x)\le f(3).
      • Or, f(0)=−10+1=−1f(0)=\frac{-1}{0+1}=-1  et f(3)=−13+1=−14f(3)=\frac{-1}{3+1}=\frac{-1}{4}, d’où −1≤f(x)≤−14-1 \le f( x)\le \frac{-1}{4}.
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      Conclure

      • Donc si x∈[0;3]x\in[0;3] alors f(x)∈[−1;−14]f(x) \in[-1;\frac{-1}{4}].
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