undefined - Fiche de révision Afterclasse

CHAPITRE

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Formules et Théorèmes

À savoir refaire

Graphiques

Fonction trinôme du second degré

Résolution d’équations du second degré

Résolution d’inéquations du second degré

Formules et Théorèmes

Discriminant d’un trinôme du second degré
Soit $f$ une fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . Le discriminant de ce trinôme est :
$\Delta=b^2-4ac$
Forme canonique d’une fonction trinôme du second degré
Soit $f$ une fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . La forme canonique est :
$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$
Sommet de la courbe représentative d’une fonction trinôme du second degré
Soit $f$ une fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
La courbe admet un sommet dont les coordonnées sont $(\alpha~;~\beta)$ ; la droite d’équation $x=\alpha$ est l'axe de symétrie de cette courbe.
Solutions d’une équation du second degré
On considère l’équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$ , de discriminant $\Delta$ . Alors :
l’équation n’admet aucune solution si $\Delta<0$

l’équation admet une solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ si $\Delta=0$

l’équation admet deux solutions :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta>0$
Factorisation d’un trinôme du second degré
Soit $f$ une fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . On note $\Delta$ son discriminant.
si $\Delta<0$ , alors on ne peut pas factoriser

si $\Delta=0$ , alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0$ unique solution de l’équation $f(x)=0$

si $\Delta>0$ , alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de l’équation $f(x)=0$
Signe d’un trinôme du second degré
Soit $f$ une fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ . On note $\Delta$ son discriminant.
si $\Delta<0$ , alors $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$

si $\Delta>0$ , alors $f(x)$ est du signe de $a$ sur $\mathbb{R}$ , sauf en $x_0$ où il s’annule

si $\Delta>0$ , alors $f(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines et vaut $0$ en $x_1$ ou $x_2$