Soit f une fonction trinôme du second degré définie sur R par f(x)=ax2+bx+c. En reprenant les notations vues précédemment (résolution d’une équation du second degré) :
si Δ<0, le trinôme ne peut pas se factoriser ;
si Δ=0, alors on peut factoriser et f(x)=a(x−x0)2 ;
si Δ>0, alors on peut factoriser et f(x)=a(x−x1)(x−x2).
Exemple
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=3x2+12x+12.
On a Δ=122−4×3×12=144−144=0, donc on peut factoriser f(x).
On calcule la racine : x0=−2×312=−2, donc f(x)=3(x−(−2))2=3(x+2)2.
Propriété
Signe d’un trinôme du second degré
Le signe d’un trinôme du second degré f(x) dépend du discriminant Δ et de a.
Si Δ<0, alors pour tout réel x, f(x) est du signe de a :
f(x)>0 si a>0 ;
f(x)<0 si a<0.
Si Δ=0, alors le trinôme est du signe de a et s’annule en x0 :
f(x)⩾0 si a>0 ;
f(x)⩽0 si a<0.
Si Δ>0, alors le trinôme est de signe de a à l’extérieur des racines et du signe de −a entre les racines.
On résume cette propriété par les tableaux de signes ci-contre.
Propriété
Le tableau ci-contre donne les différentes possibilités pour la courbe représentative d’une fonction trinôme du second degré.
Exemple
Résoudre l’équation −4x2−8x+60>0.
On commence par calculer le discriminant :
Δ=b2−4ac=(−8)2−4×(−4)×60=64+960=1024>0
L’équation $-4x^2-8x+60=0$ admet donc deux solutions :
x1=2a−b−Δ=2×(−4)−(−8)−1024=−88−32=3
x2=2a−b+Δ=2×(−4)−(−8)+1024=−88+32=−5
On en déduit le signe de −4x2−8x+60, avec a=−4<0 et Δ>0.
L’inéquation −4x2−8x+60>0 a donc pour solution l’intervalle ]−5;3[.