On dit qu’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est une fonction trinôme du second degré s’il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ avec $a\neq0$ tels que, pour tout réel $x$, $f(x)=ax^2+bx+c$.

On parle aussi de fonction polynôme du second degré.

Les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+4x-8$, $g(x)=7x^2+9$ et $h(x)=-0,25x^2+18x$ sont des fonctions trinômes du second degré.

Soit $f$ la fonction trinôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$.
Le réel $\Delta=b^2-4ac$ est appelé discriminant du trinôme.

Attention dans le calcul du discriminant, même si $b$ est négatif, $b^2$ est positif !

Soit $f$, $g$ et $h$ les fonctions définies respectivement sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-4x+9$, $g(x)=-3x^2+9x-1$, $h(x)=2x^2+5$.
Alors :

• $\Delta_f=(-4)^2-4\times2\times9=16-72=-56$
• $\Delta_g=9^2-4\times(-3)\times(-1)=81-12=69$
• $\Delta_h=0^2-4\times2\times5=0-40=-40$

Soit $f$ une fonction trinôme du second degré, définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+bx+c$.
Il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout réel $x$, $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
On démontre que :

• $\alpha=-\frac{b}{2a}$ ;
• $\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}$.

L’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ est appelée forme canonique du trinôme.

Déterminer la forme canonique des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-3x^2-12x+15$ et $g(x)=4x^2-4x-24$.

• On utilise les formules ci-dessus pour déterminer la forme canonique de la fonction $f$.
• $\alpha_{f}=-\left(\frac{-12}{2\times(-3)}\right)=-2$
• $\beta_f=f(-2)=-3\times(-2)^2-12\times(-2)+15=-3\times4+24+15=-12+39=27$
• Ainsi, pour tout réel $x$, $f(x)=-3(x-(-2))^2+27=-3(x+2)^2+27$.
• Pour la fonction $g$, on utilise une identité remarquable, en ayant au préalable factorisé par $a=4$.

\begin{align*}<br />g(x)&amp;=4x^2-4x-24 \\<br />&amp;=4(x^2-x)-24 \\<br />&amp;=4\left[x^2-2\times x\times\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right] \\<br />&amp;=4\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right]-24 \\<br />&amp;=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-1-24 \\<br />&amp;=4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-25<br />\end{align*}<br />

Il sera souvent plus simple et rapide d’utiliser les formules données ci-dessus que de factoriser.

Avec les notations des propriétés et définitions précédentes.

• Si $a<0$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha~;~+\infty[$ ;
• Si $a>0$, la fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$.

On obtient alors les tableaux de variations ci-contre. La fonction $f$ admet un :

• maximum si $a<0$ ;
• minimum si $a>0$.

On modélise le bénéfice d’une entreprise, en euros, par la fonction $B$ définie sur $[0~;~50]$ par $B(x)=-0,25x^2+21x-316$. $x$ est le nombre d’objets vendus.
Déterminer combien d’objets doit vendre l’entreprise pour que son bénéfice soit maximal, ainsi que le bénéfice maximal.

• On détermine d’abord $\alpha$ :
• $\alpha=-\frac{21}{2\times(-0,25)}$
• On calcule ensuite $\beta$ :
• $\beta=B(42)=-0,25\times42^2+21\times42-316=-441+882-316=125$
• Ainsi, pour tout $x$ de $[0~;~50]$, on a $B(x)=-0,25(x-42)^2+125$.
• Puisque $a=-0,25<0$, le bénéfice admet un maximum, atteint en $x=\alpha$.
• Ainsi, l’entreprise doit vendre 42 objets pour que son bénéfice soit maximal, et le bénéfice maximal est alors de 125 euros.

La courbe représentative d’une fonction trinôme du second degré est une parabole dont le sommet $S$ a pour coordonnées $(\alpha~;~\beta)$. La droite d’équation $x=\alpha$ est axe de symétrie de cette courbe.