undefined - Fiche de révision Afterclasse

Simplifier une racine carrée

Simplifier la racine carrée

\sqrt{96}

.

0

Écrire le nombre sous la racine sous la forme $a^2\times b$

On cherche le plus grand carré possible $a^2$ tel que $96=a^2\times b$ .
Pour cela, on décompose $96$ en facteurs simples, que l’on regroupe pour obtenir un carré (un nombre avec un exposant pair) :

$96=2\times 48$
$48=2\times 24$ donc $96=2\times2\times 24=2^2\times 24$
$24=4\times 6$ donc $96=2^2\times 24=2^2\times 4\times 6=4\times4\times 6=4^2\times 6$

On s’arrête ici car on ne peut pas écrire $6$ comme produit d’un entier par un carré. En effet, on ne peut décomposer $6$ que sous la forme $6=2\times 3$ ou $6=6\times1$ et les nombres $1$ , $2$ , $3$ et $6$ ne sont pas des carrés d’entiers.

1

Simplifier la racine

On utilise la formule $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ deux nombres positifs :

$\sqrt{96}=\sqrt{4^2\times 6}=\sqrt{4^2}\times\sqrt{6}=4\sqrt{6}$

Résolution d’une équation du second degré

Résoudre l’équation

2x^2-12x+14=0

.

0

Identifier les coefficients

On sait qu’un trinôme peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c$ .
On en déduit donc ici que $a=2$ ; $b=-12$ et $c=14$ .

1

Calculer le discriminant

Le discriminant du trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ .
On applique avec les coefficients déterminés ci-dessus :

$\Delta=b^2-4ac=(-12)^2-4\times2\times 14=144-112=32$

2

Déterminer le nombre de solutions

Le discriminant est strictement positif, l’équation admet donc deux solutions.

3

Simplifier la racine carrée du discriminant

On écrit $32$ sous la forme d’un produit d’un carré par un entier : $32=16\times 2$
Donc $\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{16}\times\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ .

4

Calculer les solutions de l’équation

Les solutions sont :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

D’où :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-12)-\sqrt{32}}{2\times 2}=\frac{12-4\sqrt{2}}{4}$
$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-12)+\sqrt{32}}{2\times 2}=\frac{12+4\sqrt{2}}{4}$

5

Simplifier les solutions

$x_1=\frac{12-4\sqrt{2}}{4}=\frac{4\times3-4\sqrt{2}}{4}=\frac{4(3-\sqrt{2})}{4}=3-\sqrt{2}$
$x_2=\frac{12+4\sqrt{2}}{4}=\frac{4\times3+4\sqrt{2}}{4}=\frac{4(3+\sqrt{2})}{4}=3+\sqrt{2}$
L’équation $2x^2-12x+14=0$ admet deux solutions : $3-\sqrt{2}$ et $3+\sqrt{2}$ .

Résolution d’une inéquation du second degré

Résoudre l’inéquation

-3x^2+12x-1\leqslant x^2-3x+13

.

0

Modifier l’inéquation

Pour pouvoir appliquer les formules du cours, l’un des membres de l’inéquation doit être égal à $0$ .
On se ramène donc à une inéquation du type $T(x)\leqslant0$ :

\begin{align*} -3x^2+12x-1&\leqslant x^2-3x+13 \\ -3x^2+12x-1-x^2+3x-13&\leqslant 0 \\ -4x^2+15x-14&\leqslant 0 \end{align*}

1

Calculer le discriminant

Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac=15^2-4\times(-4)\times(-14)=225-224=1$ .

2

Calculer les racines de l’équation associée

Le discriminant étant strictement positif, l’équation $-4x^2+15x-14=0$ admet deux solutions :

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-15-\sqrt{1}}{2\times(-4)}=\frac{-15-1}{-8}=\frac{-16}{-8}=2$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-15+\sqrt{1}}{2\times(-4)}=\frac{-15+1}{-8}=\frac{-14}{-8}=\frac{7}{4}$

3

Étudier le signe du trinôme

Le discriminant est strictement positif et $a=-4<0$ , le tableau de signes de $-4x^2+15x-14$ est donc du type :

4

Résultat

5

Solution de l’inéquation

On cherche à résoudre l’inéquation $-4x^2+15x-14\leqslant0$ , le trinôme $-4x^2+15x-14$ doit donc être négatif, le tableau de signes comporte deux signes $-$ , donc l’ensemble solution est la réunion de deux intervalles.
L’inéquation $-3x^2+12x-1\leqslant x^2-3x+13$ a donc pour solution l’ensemble $\left]-\infty~;~\frac{7}{4}\right]\cup[2~;~+\infty[$ .

Déterminer l’extremum d’une fonction trinôme du second degré

Une entreprise vend des objets, lorsqu’elle en vend

x

, son bénéfice, en euros, sur l’intervalle

[1~;~50]

est modélisé par la fonction

B

définie par

B(x)=-0,25x^2+19,5x-130,25

.
Déterminer combien d’objets doit produire et vendre l’entreprise pour que son bénéfice soit maximal, et déterminer ce bénéfice maximal.

0

Déterminer la forme canonique

On sait qu’il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1~;~50]$ , on a : $B(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , il s’agit de la forme canonique.
On calcule $\alpha$ et $\beta$ :

$\alpha=-\frac{b}{2a}=-\left(\frac{19,5}{2\times(-0,25)}\right)=39$

D’où :

$\beta=B(\alpha)=B(39)$
$=-0,25 \times 39^2+19,5 \times 39-130,25$
$=-380,25+760,5-130,25$
$=250$

Ainsi, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[1~;~50]$ , on a :

$B(x)=-0,25(x-39)^2+250$ .

1

Déterminer les variations de la fonction $B$ sur son ensemble de définition

Le coefficient $a$ étant négatif, la fonction est croissante puis décroissante.

elle est croissante sur $[1~;~39]$
elle est décroissante sur $[39~;~50]$

On obtient le tableau de variations ci-dessous où $\alpha$ et $\beta$ ont été calculés précédemment.

2

Construire le tableau de variations de la fonction sur son ensemble de définition

On calcule les images de $1$ et $50$ par $B$ :

$B(1)=-0,25\times1^2+19,5\times-130,25=-111$
$B(50)=-0,25\times50^2+19,5\times50-130,25=219,75$

On obtient le tableau de variations suivant :

3

Conclure

L’entreprise doit produire $39$ objets pour que son bénéfice soit maximal ; ce bénéfice maximal est alors de $250$ euros.

Simplifier une racine carrée

Écrire le nombre sous la racine sous la forme a2×ba^2\times ba2×b

Simplifier la racine

Résolution d’une équation du second degré

Identifier les coefficients

Calculer le discriminant

Déterminer le nombre de solutions

Simplifier la racine carrée du discriminant

Calculer les solutions de l’équation

Simplifier les solutions

Résolution d’une inéquation du second degré

Modifier l’inéquation

Calculer le discriminant

Calculer les racines de l’équation associée

Étudier le signe du trinôme

Résultat

Solution de l’inéquation

Déterminer l’extremum d’une fonction trinôme du second degré

Déterminer la forme canonique

Déterminer les variations de la fonction BBB sur son ensemble de définition

Construire le tableau de variations de la fonction sur son ensemble de définition

Conclure

Écrire le nombre sous la racine sous la forme $a^2\times b$

Déterminer les variations de la fonction $B$ sur son ensemble de définition