undefined - Fiche de révision Afterclasse

Propriétés de $p$

Un dé à

6

faces est truqué (ou « pipé »), dans le sens où la probabilité de sortie d’un numéro est proportionnelle à celui-ci. Déterminer la probabilité de sortie de chaque numéro.

0

Notation et première relation

Soient $p_{1}$ , $p_{2}$ , $p_{3}$ , $p_{4}$ , $p_{5}$ , $p_{6}$ les probabilités de sortie respectives des numéros $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ et $6$ .
$p_{1}+ p_{2}+ p_{3}+ p_{4}+ p_{5}+ p_{6}=1$ .

1

Proportionnalité des probabilités

La probabilité de sortie des numéros est proportionnelle à ceux-ci : $\frac{p_{1}}{1}= \frac{p_{2}}{2}=\frac{p_{3}}{3}=\frac{p_{4}}{4}=\frac{p_{5}}{5}=\frac{p_{6}}{6}$ .
On en déduit que $p_{2}= 2p_{1}$ , $p_{3}= 3p_{1}$ , $p_{4}= 4p_{1}$ , $p_{5}= 5p_{1}$ et $p_{6}= 6p_{1}$ .

2

Calcul de $p_{1}$

Du $1.$ , on peut écrire que $p_{1}+2p_{1}+3p_{1}+4p_{1}+5p_{1}+6p_{1}=1$ .
Soit $21p_{1}=1$ .
$p_{1}=\frac{1}{21}$ .

3

Conclusion : valeur de $p_{2}, ... , p_{6}$

On en déduit que : $p_{2}=\frac{2}{21}$ , $p_{3}=\frac{3}{21}$ , $p_{4}=\frac{4}{21}$ , $p_{5}=\frac{5}{21}$ et $p_{6}=\frac{6}{21}$ .

Représentation avec un arbre

Il peut être parfois fastidieux de compter toutes les issues. On utilise dans ce cas, un arbre pour représenter et dénombrer tous les cas possibles.

Une urne contient

5

boules de couleurs, indiscernables au toucher :

1

blanche,

2

vertes et

2

rouges. On tire au hasard

2

boules avec remise, c’est-à-dire qu’on remet la première tirée dans l’urne, avant de tirer la suivante.
Calculer la probabilité de l’évènement

E

: « on tire exactement une fois la boule blanche ».

0

Représentation à l’aide d’un arbre

On commence par tracer $5$ branches correspondant aux $5$ résultats possibles du premier tirage.
Au bout de chacune d’elle, on retrace $5$ branches, résultats possibles du 2^e.

1

Recherche des cas favorables

On précise dans l’arbre les chemins où $B$ n'apparaît qu’une fois : il y en a $8$ .

2

Conclusion

L’arbre montre qu’il y a $25$ issues possibles à l’expérience, toutes équiprobables car les boules sont indiscernables.
$p(E)=\frac{8}{25}$ .

Avec l’Union ( $\cup$ ) et l’Intersection ( $\cap$ )

A

et

B

sont

2

évènements tels que :

p(\bar{A})=0,6

;

p(A\cap B)=0,15

et

p(A\cup B)=0,8

.
Calculer

p(\bar{B})

.

0

Rappel de la formule

Pour tous évènements $A$ et $B$ , on a : $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ .

1

Calcul de $p(A)$

Comme $p(\bar{A})=0,6$ et $p(\bar{A})=1-p(A)$ .
On en déduit que $p(A)=0,4$ .

2

Calcul de $p(B)$

De $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$ , on obtient que $0,8=0,4+p(B)-0,15$ .
$p(B)=0,55$ .

3

Conclusion

$p(\bar{B})=1-p(B)=0,45$ .

Propriétés de ppp

Notation et première relation

Proportionnalité des probabilités

Calcul de p1p_{1}p1​

Conclusion : valeur de p2,...,p6p_{2}, ... , p_{6}p2​,...,p6​

Représentation avec un arbre

Représentation à l’aide d’un arbre

Recherche des cas favorables

Conclusion

Avec l’Union (∪\cup∪) et l’Intersection (∩\cap∩)

Rappel de la formule

Calcul de p(A)p(A)p(A)

Calcul de p(B)p(B)p(B)

Conclusion

Propriétés de $p$

Calcul de $p_{1}$

Conclusion : valeur de $p_{2}, ... , p_{6}$

Avec l’Union ( $\cup$ ) et l’Intersection ( $\cap$ )

Calcul de $p(A)$

Calcul de $p(B)$